[论文解读] Cloaking via change of variables in elastic impedance tomography

André Diatta, Sébastien Guenneau|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2013

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于变换的弹性阻抗层析成像隐身方法，利用变量变换技术使包含物通过边界测量不可见。证明了通过适当的变换，隐身弹性介质的狄利克雷-诺伊曼映射可近似于均匀介质的映射，从而实现近乎隐形的包含物，该方法在二维和三维设置下通过有限元模拟得到数值验证。

ABSTRACT

We discuss the concept of cloaking for elastic impedance tomography, in which, we seek information on the elasticity tensor of an elastic medium from the knowledge of measurements on its boundary. We derive some theoretical results illustrated by some numerical simulations.

研究动机与目标

• 将隐身概念从电学和声学阻抗层析成像扩展到具有剪切波和压力波耦合的弹性介质。
• 建立在弹性阻抗层析成像中，通过边界测量使包含物不可探测的理论条件。
• 证明经变换后的弹性张量可近乎保持均匀介质的狄利克雷-诺伊曼映射。
• 通过二维和三维设置下的有限元模拟验证理论框架。

提出的方法

• 使用变量变换 F 将带有核心包含物的物理区域映射为隐身区域，通过前推变换对弹性张量进行变换。
• 利用变换 F 的雅可比矩阵推导变换后的纳维方程和弹性张量，确保新张量保持相同的边界响应。
• 应用里斯表示定理定义边界上应力张量的迹，从而构建狄利克雷-诺伊曼映射。
• 证明隐身介质与均匀介质的狄利克雷-诺伊曼映射之间的差异被有界于 O(ρⁿ)，其中 ρ 为核心半径。
• 采用有限元方法数值求解具有边界激励的弹性静力学弱形式方程。
• 通过位移幅值的数值可视化展示近隐身效果，即隐身与非隐身构型产生几乎相同的边界场。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在阻抗层析成像中，采用类似于电磁或声学隐身的基于变换的方法实现弹性隐身？
• RQ2 在何种条件下，隐身弹性介质的狄利克雷-诺伊曼映射近似等于均匀介质的映射？
• RQ3 核心包含物的尺寸如何影响弹性阻抗层析成像中隐身效果的准确性？
• RQ4 有限元模拟能否在二维和三维弹性介质中再现理论预测的近隐身效果？

主要发现

• 理论分析表明，隐身弹性介质的狄利克雷-诺伊曼映射与均匀介质的映射之间的误差被有界于 O(ρⁿ)，其中 ρ 为核心包含物的半径。
• 当 ρ 较小时，隐身介质的边界测量几乎与均匀介质无法区分，证明了有效的隐身效果。
• 二维数值模拟证实，隐身区域内的位移场幅值与具有相同边界激励的非隐身区域几乎完全相同。
• 有限元结果表明，隐身情况下位移幅值的颜色标度范围显著减小，表明场扰动被抑制。
• 在所选变换 F 下，隐身效果具有鲁棒性，该变换将核心区域映射为更大区域，同时保持边界响应不变。
• 本研究证实，基于变量变换的弹性隐身在弹性静力学中是可行的，为未来全波和动态弹性隐身研究提供了支持。