[论文解读] Closed surfaces with different shapes that are indistinguishable by the SRNF

Eric Klassen, Peter W. Michor|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2019

3D Shape Modeling and Analysis参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文证明，广泛用于R³中形状分析的平方根法向场（SRNF）方法无法唯一确定曲面形状——具体而言，它证明了不同的封闭曲面与开放曲面可能具有相同的SRNF，因此在该度量下无法区分。尽管存在这种退化现象，SRNF仍能唯一确定标准球面以及严格凸嵌入曲面（至多平移等价）。

ABSTRACT

The Square Root Normal Field (SRNF), introduced by Jermyn et al. in [3], provides a way of representing immersed surfaces in $\mathbb R^3$, and equipping the set of these immersions with a "distance function" (to be precise, a pseudometric) that is easy to compute. Importantly, this distance function is invariant under reparametrizations (i.e., under self-diffeomorphisms of the domain surface) and under rigid motions of $\mathbb R^3$. Thus, it induces a distance function on the shape space of immersions, i.e., the space of immersions modulo reparametrizations and rigid motions of $\mathbb R^3$. In this paper, we give examples of the degeneracy of this distance function, i.e., examples of immersed surfaces (some closed and some open) that have the same SRNF, but are not the same up to reparametrization and rigid motions. We also prove that the SRNF does distinguish the shape of a standard sphere from the shape of any other immersed surface, and does distinguish between the shapes of any two embedded strictly convex surfaces.

研究动机与目标

• 研究SRNF映射在形状空间上的单射性，特别是针对封闭曲面。
• 证明SRNF伪度量对某些曲面类是退化的，即非单射的。
• 确定SRNF仍能唯一识别曲面形状的条件。
• 构造具有相同SRNF但非等距的非等距曲面的显式例子，包括封闭曲面。
• 解决关于平坦区域是否为封闭曲面中此类退化性的必要条件的开放问题。

提出的方法

• 定义SRNF映射Φ(f) = √a(x)·n(x)，其中a(x)为面积缩放因子，n(x)为单位法向量。
• 通过SRNF差值的L²范数定义伪度量d(f₁,f₂) = ||Φ(f₁) − Φ(f₂)||，定义于Imm(M, R³)上。
• 通过在平坦区域（带孔圆盘）上构造保持SRNF但不保持形状的面积保持微分同胚，来构造反例。
• 应用Hirsch等人提出的定理4（关于体积形式）来在平坦区域上构造面积保持微分同胚。
• 利用高斯映射性质与高斯-博内定理，证明球面与凸曲面的唯一性。
• 利用闵可夫斯基定理（从高斯曲率重建曲面）证明：具有相同SRNF的凸曲面必为彼此的平移。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个非合同、非重参数化的曲面能否具有完全相同的SRNF？
• RQ2 SRNF映射在封闭曲面的形状空间上是否为单射？
• RQ3 平坦区域是否为封闭曲面中SRNF退化的必要条件？
• RQ4 SRNF能否唯一识别所有浸入曲面中的标准球面？
• RQ5 SRNF能否区分两个严格凸嵌入曲面？

主要发现

• SRNF映射在封闭曲面的形状空间上并非单射：不同的封闭曲面可能具有相同的SRNF。
• 反例包括经线性缩放后的圆柱面，以及具有相同ab乘积的抛物面，它们之间不存在刚性变换或重参数化关系。
• 对于具有平坦区域（带孔圆盘）的封闭曲面，保持边界固定并置换内圆盘的面积保持微分同胚，可保持SRNF不变。
• 标准球面被其SRNF唯一确定：任何具有相同SRNF的浸入曲面必为单位球面的平移。
• 具有相同SRNF的两个严格凸嵌入曲面必为彼此的平移，原因在于其高斯曲率相等，且由闵可夫斯基定理可得。
• 当存在平坦区域时，SRNF无法区分曲面形状，但对球面与凸曲面仍保持单射性，凸显了其局限性与优势。