[论文解读] Clustering, percolation and directionally convex ordering of point processes

Bartłomiej Błaszczyszyn, D. Yogeshwaran|arXiv (Cornell University)|May 21, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文研究了点过程中的聚类与连续渗滤临界半径 $ r_c $ 之间的关系，使用方向凸（dcx）序对聚类倾向进行比较。尽管一个反例否定了 $ r_c $ 随 dcx 序递增的直观猜想，作者证明了对于非标准临界半径 $ \underline{r}_c $ 和 $ \overline{r}_c $，单调性成立，并为所有 dcx 较小的点过程（包括行列式点过程和永久点过程）提供了 $ r_c $ 的统一有界范围。

ABSTRACT

Heuristics indicate that point processes exhibiting clustering of points have larger critical radius $r_c$ for the percolation of their continuum percolation models than spatially homogeneous point processes. It has already been shown, and we reaffirm it in this paper, that the $dcx$ ordering of point processes is suitable to compare their clustering tendencies. Hence, it was tempting to conjecture that $r_c$ is increasing in $dcx$ order. Some numerical evidences support this conjecture for a special class of point processes, called perturbed lattices, which are "toy models" for determinantal and permanental point processes. However, the conjecture is not true in full generality, since one can construct a Cox point process with degenerate critical radius $r_c=0$, that is $dcx$ larger than a given homogeneous Poisson point process. Nevertheless, we are able to compare some nonstandard critical radii related, respectively, to the finiteness of the expected number of void circuits around the origin and asymptotic of the expected number of long occupied paths from the origin in suitable discrete approximations of the continuum model. These new critical radii sandwich the "true" one. Surprisingly, the inequalities for them go in opposite directions, which gives uniform lower and upper bounds on $r_c$ for all processes $dcx$ smaller than some given process. In fact, the above results hold under weaker assumptions on the ordering of void probabilities or factorial moment measures only. Examples of point processes comparable to Poisson processes in this weaker sense include determinantal and permanental processes. More generally, we show that point processes $dcx$ smaller than homogeneous Poisson processes exhibit phase transitions in certain percolation models based on the level-sets of additive shot-noise fields, as e.g. $k$-percolation and SINR-percolation.

研究动机与目标

• 研究连续渗滤的临界半径 $ r_c $ 是否随点过程的方向凸（dcx）序增加。
• 通过正式的 dcx 序检验，解决关于聚类会增加 $ r_c $ 的启发式猜想。
• 为所有 dcx 小于齐次泊松过程的点过程，建立 $ r_c $ 的统一下界和上界。
• 将结果扩展至基于加性泊松噪声场的渗滤模型，包括 $ k $-渗滤和 SINR-渗滤。
• 分析非标准临界半径 $ \underline{r}_c $ 和 $ \overline{r}_c $ 的 dcx 基单调性有效性，及其对相变的影响。

提出的方法

• 使用方向凸（dcx）序比较点过程中的聚类，基于空概率和阶乘矩测度的比较。
• 构造一个反例：一个 Cox 过程（泊松-泊松聚类）是 dcx 大于齐次泊松过程的，但其 $ r_c = 0 $，从而否定了朴素猜想。
• 引入两个非标准临界半径：$ \underline{r}_c < r_c $ 和 $ \overline{r}_c > r_c $，在这些半径下，dcx 序的单调性成立。
• 应用 Peierls 方法，通过 $ \overline{r}_c $ 推导 $ r_c $ 的下界，通过 $ \underline{r}_c $ 实现反向单调性。
• 证明任何 dcx 小于齐次泊松过程的点过程均具有统一的非退化 $ r_c $ 下界和上界，使用凸延拓技术。
• 将结果应用于基于加性泊松噪声场水平集的渗滤模型，如 $ k $-渗滤和 SINR-渗滤，表明在 dcx 序下存在相变。

实验结果

研究问题

• RQ1 根据聚类的启发式论断，连续渗滤的临界半径 $ r_c $ 是否随点过程的 dcx 序递增？
• RQ2 是否可以普遍证明猜想 $ \Phi_1 \leq_{dcx} \Phi_2 \Rightarrow r_c(\Phi_1) \leq r_c(\Phi_2) $？
• RQ3 非标准临界半径 $ \underline{r}_c $ 和 $ \overline{r}_c $ 在界定 $ r_c $ 中起什么作用？它们与 Peierls 方法有何关联？
• RQ4 是否所有 dcx 小于齐次泊松过程的点过程都表现出统一有界的 $ r_c $？这对相变有何影响？
• RQ5 基于加性泊松噪声场（如 $ k $-渗滤、SINR-渗滤）的渗滤模型是否在 dcx 序下表现出相变？

主要发现

• 朴素猜想（即 $ r_c $ 随 dcx 序递增）是错误的，反例表明：一个 dcx 大于泊松过程的 Cox 过程，其 $ r_c = 0 $。
• 与 Peierls 方法相关的非标准临界半径 $ \overline{r}_c $ 随 dcx 序递增，为所有 dcx 较小的过程提供了 $ r_c $ 的上界。
• 对于 $ \underline{r}_c < r_c $，反向单调性成立，即其随 dcx 序递减，从而为 $ r_c $ 提供下界。
• 所有 dcx 小于齐次泊松过程的点过程均具有统一的非退化 $ r_c $ 下界和上界，确保相变的鲁棒性。
• 结果可推广至基于加性泊松噪声场水平集的渗滤模型，包括 $ k $-渗滤和 SINR-渗滤，这些模型在 dcx 序下表现出相变。
• 具有迹类核的行列式点过程和永久点过程是 dcx 小于泊松过程的，因此继承了 $ r_c $ 的统一有界范围。