[论文解读] Coalgebraic Determinization of Alternating Automata

Meven Bertrand, Jurriaan Rot|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于幂集函子与一种用于交替转移的新型函子之间分配律的范畴论方法，实现了对交替自动机的余代数确定化框架，其语义与标准的显式定义等价。主要贡献在于通过构建一个可靠且通用的确定化过程，填补了余代数理论中长期存在的空白，适用于交替自动机。

ABSTRACT

Coalgebra is a currently quite active field, which aims to look at generic state-based systems (most prominently automata) from a very abstract point of view, mainly using tools from category theory. One of its achievements is to give a completely generic approach of determinization, unifying in an elegant manner non-deterministic automata, probabilistic automata or non-deterministic pushdown automata in one and the same model. However, the case of alternating automata fails to easily fit in this model. The aim of this internship was therefore to tackle this problem: can alternating automata also be determinized in the coalgebraic way? Does this give semantics that coincides with the concretely defined one? In this report, we give a positive answer to both questions. The main element of our construction is a distributive law, the definition of which has been for some time an open question.

研究动机与目标

• 将此前在非确定性和概率自动机中取得成功的余代数确定化方法扩展至交替自动机。
• 解决长期以来将交替自动机纳入余代数框架的难题，该问题此前一直未能被成功解决。
• 构建一个函子及其分配律，以正确建模交替自动机的分支结构与接受条件。
• 验证所得到的余代数语义与交替自动机的标准显式语义一致。

提出的方法

• 引入一个新的函子 $\mathcal{A}$，通过结合幂集函子 $\mathcal{P}$ 与一个用于析取与合取选择的对偶函子 $\mathcal{D}$，来捕捉交替自动机的结构。
• 定义一个分配律 $\lambda: \mathcal{U} \circ \mathcal{D} \to \mathcal{D} \circ \mathcal{U}$，其中 $\mathcal{U}$ 是上集函子，用于支持函子复合以建模交替转移。
• 通过分配律构造复合函子 $\mathcal{D} \circ \mathcal{U}$，以统一方式处理存在性与全称性分支。
• 定义一个语义代数 $\beta: \mathcal{A}(\mathbf{2}) \to \mathbf{2}$，将配置集合映射为接受值，依据是否存在接受配置而定。
• 利用遗忘函子与自由函子之间的伴随关系推导函子结构，并确保分配律的自然性。
• 通过包含转移函数与代数的交换图验证所诱导的行为语义与交替自动机标准接受定义一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在完全的余代数框架中，利用函子与分配律等范畴论工具，对交替自动机进行确定化？
• RQ2 所得到的交替自动机余代数语义是否与基于存在性与全称性接受条件的标准显式语义一致？
• RQ3 何种函子结构能正确建模交替自动机的分支行为，同时结合存在性与全称性选择？
• RQ4 是否存在一个分配律，使得幂集函子与对偶函子的复合能够捕捉交替转移？
• RQ5 如何验证抽象的余代数构造，以确保其能重现交替自动机的已知行为？

主要发现

• 本文成功构造了上集函子 $\mathcal{U}$ 与对偶函子 $\mathcal{D}$ 之间的分配律，解决了余代数理论中长期存在的开放问题。
• 由分配律导出的复合函子 $\mathcal{D} \circ \mathcal{U}$ 正确地建模了交替自动机的状态空间与转移结构。
• 通过代数 $\beta$ 所诱导的语义重现了标准接受条件：当且仅当存在一条所有分支均接受的运行时，字被接受。
• 行为映射 $\operatorname{beh}_1$ 满足预期方程：$\operatorname{beh}_1(q)(\varepsilon) = o(q)$ 且 $\operatorname{beh}_1(q)(aw) = \mathbf{1}$ 当且仅当存在一个转移集合 $F \in \delta(q)(a)$，使得对所有 $q' \in F$ 都有 $\operatorname{beh}_1(q')(w) = \mathbf{1}$，与显式定义一致。
• 该构造在逻辑上是可靠的，且完全兼容余代数框架，证明了交替自动机可与其它基于状态的系统一样，以统一且通用的方式进行处理。