[论文解读] Cobordism categories of manifolds with Baas-Sullivan singularities, Part 2

Nathan Perlmutter|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文构建了具有多重Baas-Sullivan奇点的流形的cobordism范畴，并将其实现的分类空间的同伦型识别为特定Thom谱 $\mathsf{MT}_{\Sigma_k}(d)$ 的无限循环空间。该研究推广了Galatius、Madsen、Tillmann与Weiss关于无结构流形的工作，并扩展了Genauer关于带角流形的结果，为通过无限循环空间理论研究奇点流形的模空间提供了一个统一的框架。

ABSTRACT

For a given list of closed manifolds $Σ_k=(P_1,...,P_k)$, we construct a cobordism category $\mathbf{Cob}_{d}^{Σ_{k}}$ of embedded manifolds with Baas-Sullivan singularities of type $Σ_k$. Our main results identify the homotopy type of the classifying spaces $B\mathbf{Cob}_{d}^{Σ_{k}}$ of these cobordism categories with that of the infinite loop-space of a certain spectrum, $\mathsf{MT}_{Σ_{k}}(d)$. Our results generalize of the work of Galatius, Madsen, Tillmann, and Weiss from arXiv:math/0605249. It also generalizes the work of Genauer on the cobordism categories of manifolds with corners from arXiv:0810.0581.

研究动机与目标

• 将cobordism范畴的框架扩展至具有类型 $\Sigma_k$ 的多重Baas-Sullivan奇点的流形。
• 将Galatius、Madsen、Tillmann与Weiss关于无结构流形的结果推广至奇点情形。
• 在更广泛的奇点cobordism框架内统一并扩展Genauer关于带角流形的工作。
• 将分类空间 $B\mathbf{Cob}_d^{\Sigma_k}$ 的同伦型与谱 $\mathsf{MT}_{\Sigma_k}(d)$ 的无限循环空间相联系。

提出的方法

• 通过在 $\mathbb{R}^\infty$ 中嵌入的、闭合的 $(d-1)$-维 $\Sigma_k$-流形作为对象，以及在 $[0,1] \times \mathbb{R}^\infty$ 中嵌入的 $d$-维 $\Sigma_k$-cobordism 作为态射，构建cobordism范畴 $\mathbf{Cob}_d^{\Sigma_k}$。
• 对范畴进行拓扑化，使得分类空间 $B\mathbf{Cob}_d^{\Sigma_k}$ 的同伦型等价于对象的 $\coprod_{[M]} \mathrm{BDiff}^{\Sigma_k}(M)$ 与态射的 $\coprod_{[W]} \mathrm{BDiff}_{\Sigma_k}(W)$。
• 利用管状邻域构造和光滑形变映射 $\eta$，对给定嵌入的邻域上的纤维丛进行平凡化，确保结构映射是局部平凡的。
• 采用光滑、非增函数 $\lambda$ 和非减函数 $\rho$ 定义时间依赖的同伦，使嵌入在保持奇点结构的同时发生形变。
• 应用伴随关系，将映射 $\eta$ 提升至进入微分同胚群空间的映射，确保像位于compactly supported微分同胚的开子集内。
• 通过构造一个满足 $\bar{\eta}(f) = \mathrm{id}$ 且 $r_1(\bar{\eta}(g) \circ \hat{f}) = g$ 的截面 $\bar{\eta}$，证明限制映射 $r_1$ 是局部平凡的纤维丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何严格定义并拓扑化具有多重Baas-Sullivan奇点的流形的cobordism范畴？
• RQ2 此类cobordism范畴的分类空间的同伦型是什么？
• RQ3 该结果如何推广Galatius、Madsen、Tillmann与Weiss关于无结构流形的经典结果？
• RQ4 该框架在何种意义上扩展了Genauer关于带角流形的工作？
• RQ5 Thom谱 $\mathsf{MT}_{\Sigma_k}(d)$ 的无限循环空间结构能否被实现为具有奇点的cobordism范畴的分类空间？

主要发现

• 分类空间 $B\mathbf{Cob}_d^{\Sigma_k}$ 的同伦型与无限循环空间 $\Omega^{\infty-1}\mathsf{MT}_{\Sigma_k}(d)$ 相同，推广了Galatius等人关于无结构流形的结果。
• 范畴 $\mathbf{Cob}_d^{\Sigma_k}$ 的构造与Bockstein-Sullivan正合对相容，保持了cobordism群 $\Omega^{\Sigma_k}_*$ 的代数结构。
• 证明表明限制映射 $r_1$ 是一个局部平凡的纤维丛，这对分类空间的同伦分析至关重要。
• 关键技术工具是通过距离函数和截断函数 $\lambda$ 与 $\rho$ 定义的光滑同伦 $\eta$，其在保持 $\Sigma_k$-结构的同时形变嵌入。
• 映射 $\bar{\eta}$ 在邻域上提供了一个连续截面，确保纤维丛是局部平凡的，从而使得分类空间技术得以应用。
• 结果确认，具有Baas-Sullivan奇点的cobordism范畴通过关联的Thom谱准确捕捉了所需的同伦论信息。