[论文解读] Codensity and the ultrafilter monad

Tom Leinster|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 33被引用 22

一句话总结

本文证明了超滤子函子（ultrafilter monad）自然地作为有限集到所有集合的包含函子的余密度函子（codensity monad），揭示了有限性与紧致性之间深刻的范畴对偶性。此外，本文还表明，有限维向量空间的余密度函子是双对偶化（double dualization），从而导出线性紧致向量空间——即紧致豪斯多夫空间的线性类比——并证明超积（ultraproducts）在范畴论中是不可避免的，即作为有限集族包含于所有集族的余密度函子。

ABSTRACT

Even a functor without an adjoint induces a monad, namely, its codensity monad; this is subject only to the existence of certain limits. We clarify the sense in which codensity monads act as substitutes for monads induced by adjunctions. We also expand on an undeservedly ignored theorem of Kennison and Gildenhuys: that the codensity monad of the inclusion of (finite sets) into (sets) is the ultrafilter monad. This result is analogous to the correspondence between measures and integrals. So, for example, we can speak of integration against an ultrafilter. Using this language, we show that the codensity monad of the inclusion of (finite-dimensional vector spaces) into (vector spaces) is double dualization. From this it follows that compact Hausdorff spaces have a linear analogue: linearly compact vector spaces. Finally, we show that ultraproducts are categorically inevitable: the codensity monad of the inclusion of (finite families of sets) into (families of sets) is the ultraproduct monad.

研究动机与目标

• 阐明余密度函子如何在无伴随函子存在的情况下，作为伴随函子诱导的函子的替代品。
• 重新确立并推广一个较少为人知的结果：包含函子 FinSet ↪ Set 的余密度函子即为超滤子函子。
• 证明有限维向量空间包含于所有向量空间的余密度函子为双对偶化函子，从而导出线性紧致向量空间作为紧致豪斯多夫空间的线性类比。
• 证明超积作为有限集族包含于所有集族的余密度函子而自然出现。
• 通过范畴对偶性，将这些构造与逻辑、拓扑学及泛函分析中的已知结构联系起来。

提出的方法

• 通过左 Kan 伸延（Kan extensions）定义余密度函子，即一个函子沿自身的右 Kan 伸延。
• 应用超滤子的刻画：一族子集对有限交封闭，并满足划分条件——任意有限划分中，恰好一个部分属于该超滤子。
• 建立集合 X 上的积分算子与 X 上的超滤子之间的一一对应关系，推广了测度积分的概念。
• 将余密度函子构造应用于有限维向量空间包含于所有向量空间的情形，证明其结果为双对偶化函子。
• 证明有限集族包含于所有集族的余密度函子同构于超积函子。
• 利用 Kan 伸延的普遍性质及滤子列（filtered colimits）的结构，证明当 𝒞 具有小列和滤子列时，FinFam(𝒞) → Fam(𝒞) 的余密度函子即为超积函子。

实验结果

研究问题

• RQ1 当伴随函子不存在时，余密度函子如何作为伴随函子诱导函子的替代？
• RQ2 为何包含函子 FinSet ↪ Set 的余密度函子同构于超滤子函子？这对其在范畴论中的起源有何启示？
• RQ3 在向量空间语境下，紧致豪斯多夫空间的范畴对偶是什么？它如何通过余密度函子产生？
• RQ4 超积是否在范畴论中是不可避免的？能否将其作为有限集族的余密度函子导出？
• RQ5 有限集族的余密度函子的代数与紧致豪斯多夫空间上的层之间有何关系？

主要发现

• 有限集包含于所有集合的余密度函子同构于超滤子函子，为超滤子提供了范畴论基础。
• 有限维向量空间包含于所有向量空间的余密度函子为双对偶化函子，从而导出线性紧致向量空间作为紧致豪斯多夫空间的线性类比。
• 有限集族包含于所有集族的余密度函子同构于超积函子，表明超积在范畴论中是不可避免的。
• 有限集族的余密度函子的代数范畴等价于紧致豪斯多夫空间上的层范畴，建立了超积与层论之间深刻的联系。
• 余密度函子构造通过涉及积分算子的普遍性质，恢复了超滤子函子，推广了测度与积分之间的对应关系。
• 该结果可推广至有限型代数理论的代数范畴，在此类范畴中，有限集族的余密度函子产生超积构造，对模型论中的 Łoś 定理具有潜在影响。