[论文解读] Coherence-variance uncertainty relation and coherence cost for quantum measurement under conservation laws

H. Tajima, Hiroshi Nagaoka|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2019

Quantum Mechanics and Applications参考文献 37被引用 5

一句话总结

本文建立了一种类相干性-方差不确定性关系，系统性地改进了 Kennard-Robertson 不等式，从而能够精确量化在守恒定律下实现量子测量所需的量子相干性。它推导出一个渐近等式，表明在小误差极限下，必要且充分的相干性代价按 $\frac{\|[A,B]\|}{2\epsilon}$ 的速率增长，从而以紧致的上下界解决了 Wigner-Araki-Yanase-Ozawa 定理中长期存在的空白。

ABSTRACT

Uncertainty relations are one of the fundamental principles in physics. It began as a fundamental limitation in quantum mechanics, and today the word {\it uncertainty relation} is a generic term for various trade-off relations in nature. In this letter, we improve the Kennard-Robertson uncertainty relation, and clarify how much coherence we need to implement quantum measurement under conservation laws. Our approach systematically improves and reproduces the previous various refinements of the Kennard-Robertson inequality. As a direct consequence of our inequalities, we improve a well-known limitation of quantum measurements, the Wigner-Araki-Yanase-Ozawa theorem. This improvement gives an asymptotic equality for the necessary and sufficient amount of coherence to implement a quantum measurement with the desired accuracy under conservation laws.

研究动机与目标

• 通过信息几何方法改进 Kennard-Robertson 不确定性关系，以更精确地量化测量过程中量子相干性的程度。
• 解决长期存在的问题：确定在守恒定律下实现量子测量所需的确切必要且充分的相干性量。
• 通过推导相干性代价的更紧致的通用下界，改进 Wigner-Araki-Yanase-Ozawa (WAY-Ozawa) 定理。
• 建立相干性代价上下界之间的渐近等式，证明所推导边界的最优性。
• 应用不对称性资源理论，量化实现 $U(1)$-协变量子操作所需的最小相干性。

提出的方法

• 系统性地利用量子信息几何技术（特别是度量调整的偏斜信息）改进 Robertson 不确定性关系。
• 应用不对称性资源理论框架，其中 $G$-协变操作和 $G$-不变态分别定义为自由操作和自由态。
• 使用 $U(1)$-协变操作来建模守恒定律，其中 $U_g = e^{-igA}$，并通过度量调整的偏斜信息定义相干性代价。
• 利用改进的不确定性关系和自由操作的不变性性质，推导出相干性代价的下界。
• 通过构建一个最小相干性间接测量协议，推导出所需相干性的上界，证明其渐近紧致性。
• 证明当 $\epsilon \to 0$ 时，相干性代价的上下界渐近匹配，从而得出渐近等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在守恒定律下，实现误差为 $\epsilon$ 的量子测量，所需的精确最小相干性量是多少？
• RQ2 Wigner-Araki-Yanase-Ozawa 定理能否被改进，以获得相干性代价的更紧致、通用的下界？
• RQ3 所推导的相干性代价下界是否渐近紧致，即是否存在一种协议能够达到该下界？
• RQ4 不对称性资源理论（特别是 $U(1)$-对称性情形）如何量化实现非自由量子操作的代价？
• RQ5 相干性代价对测量误差 $\epsilon$ 和对易子范数 $\|[A,B]\|$ 的函数依赖关系如何？

主要发现

• 本文推导出一种新的相干性-方差不确定性关系，利用信息几何方法系统性地改进了 Kennard-Robertson 不等式。
• 建立了在守恒定律下实现量子测量的相干性代价的通用下界，其紧致性严格优于以往结果。
• 通过构造性间接测量协议，推导出充分相干性代价的上界，该上界与下界渐近匹配。
• 证明了当 $\epsilon \to 0$ 时，渐近等式 $\sqrt{I^{f}_{\epsilon}} = \frac{\|[A_{S},B_{S}]\|}{2\epsilon} + O(\|A_{S}\|)$ 成立，表明边界的紧致性。
• 当 $f(0) = 1/2$ 时，相干性代价在小误差区域内按 $\frac{\|[A,B]\|}{2\epsilon}$ 的速率增长，确认了最小所需相干性的确切标度。
• 该框架证实，度量调整的偏斜信息是 $U(1)$-协变量子操作中不对称性代价的合理且最优的度量。