[论文解读] Cohomological Hall algebras, their categorification, and their representations via torsion pairs

Duiliu-Emanuel Diaconescu, Mauro Porta+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2022

Algebraic structures and combinatorial models被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的框架，利用扭对（torsion pairs）与倾斜理论（tilting）来构建完整的上同调霍尔代数（COHAs）及其范畴化版本，克服了长期以来仅能生成此类代数‘正部分’的局限。通过将一个稳定∞-范畴分解为扭对 (T, F)，作者从扭子范畴 T 构建 COHA，并从无扭子范畴 F 实现其左、右表示，从而生成包含正负算子的完整代数。关键贡献在于对光滑曲面上层与稳定对模空间上同调上仿射杨代数作用的范畴化，以及对奎瓦（quiver）的二维 COHA 在中田奎瓦流形上的范畴化。

ABSTRACT

In this paper we provide a systematic way of producing representations of cohomological, K-theoretical and categorified Hall algebras, and study the output of our construction in several cases. We thus recover and categorify in a unified framework the action of the COHA of a quiver on the cohomology of Nakajima quiver variety, the action of the COHA of zero-dimensional sheaves on the the cohomology of Hilbert schemes of points and moduli spaces of Gieseker-stable sheaves on smooth surfaces, recovering the constructions of Neguţ and DeHority. We also obtain new examples, associated to Pandharipande-Thomas stable pairs. Along the way, we explain carefully under which conditions one can associate to a pair $(\mathscr{C},τ)$ consisting of a stable $\infty$-category with a t-structure a COHA. This requires a careful analysis and extension of Khan's theory of motivic Borel-Moore homology to the non quasi-compact setting, and it allows to produce new examples of COHAs arising from Bridgeland's stability conditions. The representations that we construct take an extra categorical input: that of a torsion pair $(\mathscr{T},\mathscr{F})$ on the heart $\mathscr{C}^\heartsuit$ of $τ$. Under favorable conditions, the homology of the moduli stack associated to $\mathscr{T}$ acquires a Hall multiplication, that acts both on the left and on the right on the homology of the moduli stack associated to $\mathscr{F}$. The left action generalizes and categorifies Nakajima's positive operators, while the right action corresponds to negative operators.

研究动机与目标

• 解决 COHA/KHA 理论中长期存在的局限：仅能生成完整代数的‘正部分’。
• 将完整代数（如杨代数）的构造从奎瓦推广至光滑曲面等几何设定。
• 通过导出范畴与动机 Borel-Moore 上同调，实现 COHA 表示的范畴化。
• 统一并推广现有基于 t-结构与扭对的 COHA 及其表示的构造方法。
• 恢复并范畴化已知作用，例如仿射杨代数在 Gieseker 稳定层与曲面上稳定对模空间上同调上的作用。

提出的方法

• 利用具有 t-结构 τ 的稳定 ∞-范畴 C，以及其心 C♡ 上的扭对 (T, F)，对范畴进行分解。
• 通过适配于非准紧堆栈的动机 Borel-Moore 上同调框架，从子范畴 T 构建 COHA（及其范畴化版本）。
• 从子范畴 F 定义 COHA 的左表示与右表示，其中左作用对应正算子，右作用对应负算子。
• 将形式化应用于光滑射影曲面上的扭对，恢复 Gieseker 稳定层模空间上同调上的仿射杨代数作用。
• 采用改进的方法，通过动机 Borel-Moore 上同调与 Pandharipande-Thomas 稳定对的导出模空间堆栈，构建曲面上零维层的 COHA 与 CatHA 表示，使用旗扩张（flag extensions）而非层扩张。
• 利用 Khan 的动机 Borel-Moore 上同调框架，并将其扩展至非准紧的导出堆栈，使一般 t-结构下 COHA 的构造成为可能。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从具有 t-结构与扭对的稳定 ∞-范畴中构造完整的上同调霍尔代数（COHA）？
• RQ2 能否利用扭对对曲面上 Gieseker 稳定层模空间上同调上的仿射杨代数作用实现范畴化？
• RQ3 倾斜理论与旗扩张在生成超越标准扩张构造的 COHA 表示中起什么作用？
• RQ4 如何将动机 Borel-Moore 上同调适配于非准紧的导出堆栈，以支持 COHA 的构造？
• RQ5 该框架能否恢复并范畴化奎瓦的二维 COHA 在 Nakajima 奎瓦流形上同调上的作用？

主要发现

• 稳定 ∞-pro-范畴 Cohb_pro(Rep(ΠQ)) 装备有 E1-单峰结构，实现奎瓦的二维 COHA。
• 稳定 ∞-pro-范畴 Cohb_pro(RepF(ΠQw)) 是 Cohb_pro(Rep(ΠQ)) 上的左范畴模，范畴化了 COHA 在奎瓦流形上的左作用。
• 对每个维向量 w∞=1，堆栈 RepF(ΠQw; v, 1) 是 Nakajima 奎瓦流形 MQ,θ(v, w) 上的 Gm-丛，且 MQ,θ(v, w) 的上同调装备有 COHA 上的左范畴模结构。
• 动机 Borel-Moore 上同调 HD,Γ_0(RepF(ΠQw); A) 是 HD,Γ_0(Rep(ΠQ); A) 上的左模，提供了 COHA 作用的动机范畴化。
• 该框架恢复了曲面上 Gieseker 稳定层模空间上同调上的仿射杨代数作用，并通过导出范畴实现其范畴化。
• 通过改进的构造方法，利用动机 Borel-Moore 上同调与 Pandharipande-Thomas 稳定对的导出模空间堆栈，基于旗扩张而非层扩张，得到了曲面上零维层的 COHA 与 CatHA 的表示。