[论文解读] Cohomologies of Sasakian groups and Sasakian solvmanifolds

Hisashi Kasuya|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用 4

一句话总结

该论文通过在Sasakian流形的Reeb foliation所诱导的横Kähler叶状上应用扭曲基本Hodge理论，建立了紧致Sasakian流形基本群上上同调维数的$^*$-对称性。关键结果表明，对于任意特征标$\rho^*$，群上同调$H^*(\pi_1(M), \rho_\rho)$的维数保持不变，从而得出结论：紧致Sasakian流形的多循环基本群是几乎幂零的，且Sasakian可解流形是Heisenberg幂零流形的有限商。

ABSTRACT

We show certain symmetry of the dimensions of cohomologies of the funda- mental groups of compact Sasakian manifolds by using the Hodge theory of twisted basic cohomology. As applications, we show that the polycyclic fundamental groups of compact Sasakian manifolds are virtually nilpotent and Sasakian solvmanifolds are finite quotients of Heisenberg nilmanifolds.

研究动机与目标

• 通过Hodge理论研究紧致Sasakian流形基本群的上同调结构。
• 在特征标上的$\mathbb{R}^*$作用下，建立群上同调维数的对称性。
• 对紧致Sasakian流形的多循环与可解基本群进行分类。
• 证明Sasakian可解流形是Heisenberg幂零流形的有限商。
• 提供一种无需假设准正则性的微分几何证明，以替代先前的代数几何方法。

提出的方法

• 利用Sasakian流形的Reeb叶状所诱导的横Kähler叶状上的扭曲基本上同调。
• 对复化的基本上同调复形应用Hodge理论，其中涉及一个闭1-形式$\theta = f_1 + \rho^* f_2$，且$f_1, f_2 \to H^1(M, \mathbb{R})$。
• 通过$t \to t f_1 + \rho^* f_2$引入$\mathbb{R}^*$对特征标的动作，并证明在此作用下上同调维数保持不变。
• 利用Kähler型恒等式与Laplacian分解，建立不同参数下上同调群之间的同构。
• 利用Hodge分解$A_B^r(M) \to \mathbb{R} \to \mathbb{R} \to \mathbb{R}$识别调和代表元，并将其与上同调联系起来。
• 应用李群理论结果：若可解李群$G$的幂零化部分为$N$，且所有特征标$\rho_i$均为单位特征标，则$\mathrm{Ad}_g$的特征值为单位根，从而推出基本群的虚拟幂零性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征标$\rho \to \mathbb{R}^*$上的$\mathbb{R}^*$作用下，群上同调$H^*(\pi_1(M), \mathbb{R}_\rho)$的维数是否保持不变？
• RQ2 若紧致Sasakian流形的基本群为多循环但非几乎幂零，是否可能？
• RQ3 所有Sasakian可解流形是否都是Heisenberg幂零流形的有限商？
• RQ4 是否可在不假设Sasakian结构准正则性的前提下推导出基本群的幂零性？
• RQ5 单位特征标在Sasakian群的上同调结构中起何作用？

主要发现

• 该论文证明了对任意紧致Sasakian流形$M$，$H^*(\pi_1(M), \mathbb{R}_\rho)$的维数在$\mathbb{R}^*$作用下保持不变，即对所有$t \in \mathbb{R}^*$，有$\dim H^*(\pi_1(M), \mathbb{R}_\rho) = \dim H^*(\pi_1(M), \mathbb{R}_{t\cdot\rho})$。
• 若存在非单位特征标$\rho$满足$\dim H^1(\pi_1(M), \mathbb{R}_\rho) \geq k$，则集合${\mathcal{J}}_k(\pi_1(M))$为无限集，表明具有强上同调刚性。
• 紧致Sasakian流形的多循环基本群是几乎幂零的，将Kähler几何中的结果推广至Sasakian情形。
• Sasakian可解流形是Heisenberg幂零流形的有限商，推广了关于幂零流形的已知结果。
• 该证明避免了对准正则性的假设，转而依赖于横Kähler叶状上的微分几何技术。
• 对完全可解的可解流形而言，一个紧致的$(2n+1)$维可解流形$G/\Gamma$具有Sasakian结构，当且仅当其为Heisenberg幂零流形。