[论文解读] Cohomology jump loci of quasi-compact Kähler manifolds

Nero Budur, Botong Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文证明了拟紧凯勒流形的上同调跳跃点集是平移子环面的有限并集，推广了此前对紧致和拟射影凯勒流形的结果。作者利用指数型Ax-Lindemann定理与一种新的Betti-de Rham集合框架，通过实同伦理论与霍奇理论将de Rham模空间与Betti模空间关联，从而证明了这些点集的线性性质。

ABSTRACT

We give two applications of the exponential Ax-Lindemann Theorem to local systems. One application is to show that for a connected topological space, the existence of a finite model of the real homotopy type implies linearity of the cohomology jump loci around the trivial local system. Another application is the linearity of the cohomology jump loci of rank one local systems on quasi-compact Kähler manifolds.

研究动机与目标

• 将阿帕鲁拉关于上同调跳跃点集的结果推广至不需假设 $H^1$ 上霍奇结构纯化的拟紧凯勒流形。
• 建立拟紧凯勒流形上秩一局部系统上同调跳跃点集的线性性质。
• 证明具有有限模型的拓扑空间的实同伦型可推出其上同调跳跃点集在平凡局部系统附近为线性。
• 证明上同调跳跃点集的不可约分支为子环面的平移，支持关于此类分支中扭点的猜想。

提出的方法

• 引入并利用Betti-de Rham集合，作为辛普森构造在拟紧凯勒流形上的推广。
• 应用指数型Ax-Lindemann定理，通过黎曼-希尔伯特对应关系关联de Rham模空间与Betti模空间。
• 使用良好紧化下的Gysin模型，表示拟紧凯勒流形的实同伦型。
• 通过 $H^1(X,\mathbb{Z})$ 上的霍奇结构，建立de Rham模空间与复环面之间的同构。
• 分析黎曼-希尔伯特映射下上同调跳跃点集的行为，证明其在de Rham模空间中的原像为闭解析集。
• 证明上同调跳跃点集的不可约分支为Betti-de Rham集合，而此类集合已被知为平移子环面的有限并集。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设 $H^1$ 纯化的情况下，拟紧凯勒流形的上同调跳跃点集是否总是平移子环面的有限并集？
• RQ2 若存在有限维实同伦模型，是否可推出上同调跳跃点集在平凡局部系统附近为线性？
• RQ3 Betti-de Rham集合框架能否推广至非射影的拟紧凯勒流形，以证明上同调跳跃点集的线性？
• RQ4 上同调跳跃点集在Betti模空间中的所有不可约分支是否如猜想所示均包含扭点？
• RQ5 是否存在一个拟紧凯勒流形，其不与任何拟射影流形同伦等价？

主要发现

• 定理 1.1 证明：对任意连通拟紧凯勒流形 $X$，每个上同调跳跃点集 $\Sigma^i_k(X)$ 是 $\mathbf{M}_\text{B}(X)$ 中平移子环面的有限并集，且无需对 $H^1(X,\mathbb{C})$ 做纯化假设。
• 该证明依赖于证明 $\Sigma^i_k(X) \cap \mathbf{M}_\text{B}^0(X)$ 为Betti-de Rham集合，从而推出其为平移子环面的有限并集。
• 定理 1.3(1) 表明：若 $X$ 具有有限维实同伦模型，则每个通过平凡局部系统的 $\Sigma^i_k(X)$ 的不可约分支均为子环面。
• 定理 1.3(2) 将此结果推广至任意点 $\rho \in \mathbf{M}_\text{B}(X)$，前提是微分代数对 $ (\Omega_{\text{DR}}^\bullet(X), \Omega_{\text{DR}}^\bullet(L_\rho)) $ 同伦等价于有限维模型。
• 作者通过与 $\Lambda_\mathbb{C}/\Lambda_0$ 的同构关系，证明 $\Sigma^i_k(X) \cap \mathbf{M}_\text{B}^0(X)$ 为Betti-de Rham集合，其中 $\Lambda = H^1(X,\mathbb{Z})$。
• 该结果在实同伦型有限维的假设下，证实了关于 $\Sigma^i_k(X)$ 不可约分支包含扭点的猜想。