[论文解读] Cohomology of the vector fields Lie algebras on RP^1 acting on bilinear differential operators

Sofiane Bouarroudj|ArXiv.org|Sep 14, 2004

Advanced Topics in Algebra参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文计算了实射影直线上的光滑向量场李代数 $\mathrm{Vect}(\mathbb{RP}^1)$ 在张量密度之间双线性微分算子上的第一相对上同调群，相对于子代数 $\mathrm{sl}(2,\mathbb{R})$，并计算了 $\mathrm{sl}(2,\mathbb{R})$ 在同一空间上的绝对上同调。关键结果是，对于特定权重 $\lambda, \nu$，相对上同调群可为三维，与线性算子情形的一维情况形成对比，该计算依赖于 Gordan 对 $\mathrm{sl}(2,\mathbb{R})$-不变双线性微分算子的分类结果。

ABSTRACT

The main topic of this paper is two folds. First, we compute the first relative cohomology group of the Lie algebra of smooth vector fields on the projective line, Vect(RP^1), with coefficients in the space of bilinear differential operators that act on tensor densities, D_{λ, ν;μ}, vanishing on the Lie algebra sl(2,R). Second, we compute the first cohomology group of the Lie algebra sl(2,R) with coefficients in D_{λ, ν;μ}.

研究动机与目标

• 计算双线性微分算子在张量密度上的第一相对上同调群 $\mathrm{H}^1(\mathrm{Vect}(\mathbb{RP}^1), \mathrm{sl}(2,\mathbb{R}); \mathrm{Hom}_{\mathrm{diff}}({\cal F}_\lambda \otimes {\cal F}_\nu, {\cal F}_\mu))$。
• 确定系数取自双线性微分算子空间的 $\mathrm{H}^1(\mathrm{sl}(2,\mathbb{R}); \mathrm{Hom}_{\mathrm{diff}}({\cal F}_\lambda \otimes {\cal F}_\nu, {\cal F}_\mu))$ 的第一上同调群。
• 通过这些上同调群的结构，理解在等变量化程序中 $\mathrm{Vect}(\mathbb{RP}^1)$-等变性的障碍。
• 在不同权重 $\lambda, \nu, \mu$ 下分类上同调群的维数，特别是识别维数超过一的情况。

提出的方法

• 上同调计算基于 $\mathrm{Vect}(\mathbb{RP}^1)$ 通过李导数作用于张量密度，并通过导出作用公式扩展至双线性微分算子。
• 通过求解相对于 $\mathrm{sl}(2,\mathbb{R})$-不变平凡上循环的 $\mathrm{Vect}(\mathbb{RP}^1)$-等变映射的 1-上循环条件，计算相对上同调。
• 双线性微分算子的空间通过其阶数和系数参数化，1-上循环条件导出关于系数的线性方程组。
• 基于 Gordan 的结果，对 $\mathrm{sl}(2,\mathbb{R})$-不变双线性微分算子的分类，用于确定解空间的结构。
• 对每个权重三元组 $(\lambda, \nu, \mu)$，通过在商去平凡上循环 $L_X J_k^{\lambda,\nu}$ 后计算自由参数的数量，分析解空间的维数。
• 按算子阶数 $k$ 逐项分析，对 $k=6,7$ 进行详细计算，并对 $k \geq 8$ 采用渐近推理。

实验结果

研究问题

• RQ1 双线性微分算子在 $\mathbb{RP}^1$ 上的第一相对上同调群 $\mathrm{H}^1(\mathrm{Vect}(\mathbb{RP}^1), \mathrm{sl}(2,\mathbb{R}; \mathrm{Hom}_{\mathrm{diff}}({\cal F}_\lambda \otimes {\cal F}_\nu, {\cal F}_\mu))$ 的维数是多少？
• RQ2 对于哪些 $\lambda$ 和 $\nu$ 值，该上同调群变为三维，其几何或代数原因是什么？
• RQ3 $\mathrm{sl}(2,\mathbb{R})$ 作用于双线性微分算子空间的上同调与相对于 $\mathrm{sl}(2,\mathbb{R})$ 的相对上同调相比如何？
• RQ4 转递算子 $J_k^{\lambda,\nu}$ 在消除平凡上循环和确定真实上同调类中起什么作用？
• RQ5 对于 $k \geq 8$，在什么条件下相对上同调群非平凡，且是否可能为一维？

主要发现

• 当 $(\lambda, \nu) = (-\frac{s}{2}, -\frac{t}{2})$ 且 $0 \leq s,t \leq k-1$、$t > k-s$ 时，相对上同调群 $\mathrm{H}^1(\mathrm{Vect}(\mathbb{RP}^1), \mathrm{sl}(2,\mathbb{R}); {\cal D}_{\lambda,\nu;\mu})$ 在 $k=6$ 时为三维。
• 当 $k=6$ 时，若 $(\lambda, \nu) = (0, \frac{-5-\sqrt{19}}{2})$ 或其对称形式，上同调群为三维，这是因为在商去平凡上循环后解空间非平凡。
• 当 $(\lambda, \nu) = (-\frac{5}{2}, -\frac{5}{2})$ 时，上同调群为二维，因为可通过添加平凡上循环消除两个参数。
• 当 $k=6$ 时，若 $(\lambda, \nu) = (-\frac{1}{2}, -2)$ 或其对称形式，上同调群为一维，这是由于转递算子 $J_6^{\lambda,\nu}$ 的非唯一性，使得两个参数可被消除。
• 对于 $k \geq 8$ 的一般 $\lambda, \nu$，上同调群为一维，且该类为平凡，因为其由平凡上循环 $L_X J_k^{\lambda,\nu}$ 张成。
• 当 $k=8$ 时，对于 $\mu = \frac{9}{2}$、$\lambda = 0$、$\nu = -\frac{7}{2}$，上同调群非平凡且为一维，即 $\mathrm{H}^1(\mathrm{Vect}(\mathbb{RP}^1), \mathrm{sl}(2,\mathbb{R}); {\cal D}_{0,-7/2;9/2}) \simeq \mathbb{R}$。