[论文解读] Coloring dense graphs via VC-dimension

Tomasz Łuczak, Stéphan Thomassé|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2010

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 13被引用 24

一句话总结

本文引入了配对VC维，这是针对具有底层图结构的超图的VC维的新颖推广，用于分析稠密图中的染色数界限。它提供了三角形自由图在最小度大于 n/3 时染色数有界的简短证明，并表明 H-自由图的染色阈值要么为 0，要么至少为 1/3，不存在介于两者之间的中间值。

ABSTRACT

The Vapnik-Červonenkis dimension is a complexity measure of set-systems, or hypergraphs. Its application to graphs is usually done by considering the sets of neighborhoods of the vertices (cf. Alon et al. (2006) and Chepoi, Estellon, and Vaxes (2007)), hence providing a set-system. But the graph structure is lost in the process. The aim of this paper is to introduce the notion of paired VC-dimension, a generalization of VC-dimension to set-systems endowed with a graph structure, hence a collection of pairs of subsets. The classical VC-theory is generally used in combinatorics to bound the transversality of a hypergraph in terms of its fractional transversality and its VC-dimension. Similarly, we bound the chromatic number in terms of fractional transversality and paired VC-dimension. This approach turns out to be very useful for a class of problems raised by Erdős and Simonovits (1973) asking for H-free graphs with minimum degree at least cn and arbitrarily high chromatic number, where H is a fixed graph and c a positive constant. We show how the usual VC-dimension gives a short proof of the fact that triangle-free graphs with minimum degree at least n/3 have bounded chromatic number, where $n$ is the number of vertices. Using paired VC-dimension, we prove that if the chromatic number of $H$-free graphs with minimum degree at least cn is unbounded for some positive c, then it is unbounded for all c<1/3. In other words, one can find H-free graphs with unbounded chromatic number and minimum degree arbitrarily close to n/3. These H-free graphs are derived from a construction of Hajnal. The large chromatic number follows from the Borsuk-Ulam Theorem.

研究动机与目标

• 解决 Erdős–Simonovits 关于高最小度 H-自由图染色数界限的问题。
• 开发一种新框架，利用配对VC维分析稠密图中的染色数，同时保持图的结构特征。
• 刻画使得 H-自由图具有染色阈值 0（即当最小度超过 cn 时染色数有界，对任意 c > 0）的图 H。
• 证明 H-自由图的染色阈值不可能严格介于 0 和 1/3 之间，从而确立一个尖锐的相变。
• 通过配对VC维，给出 Thomassen 关于五边形自由图具有染色阈值 0 的结果的新拓扑证明。

提出的方法

• 将配对VC维作为经典VC维在具有底层图结构的超图上的推广，用于捕捉集合对。
• 应用经典VC理论，对最小度大于 n/3 的三角形自由图进行染色数有界性分析，从而给出染色数有界的简短证明。
• 将顶点邻域中的图结构提升至顶点集的 k 元子集上的超图，以保持组合结构。
• 利用 Borsuk–Ulam 定理构造具有高染色数和最小度接近 n/3 的稠密图，作为极值例子。
• 在球面上构造 Borsuk–Hajnal 图作为拓扑构造，以实现高染色数并分析其最小度性质。
• 应用同态与围长约化技术（通过 Hell–Nešetřil 构造）生成具有高染色数、高围长和局部近乎二分图邻域的图。

实验结果

研究问题

• RQ1 H-自由图的染色阈值是什么？能否根据 H 的结构特性对其进行刻画？
• RQ2 配对VC维能否用于建立稠密 H-自由图染色数的紧致界限？
• RQ3 H-自由图的染色阈值是否可能取严格介于 0 和 1/3 之间的任意值？
• RQ4 如猜想所示，局部二分图的染色阈值是否可能为 1/2？
• RQ5 拓扑构造（如 Borsuk 图）在实现高染色数与高最小度方面起到什么作用？

主要发现

• 最小度大于 n/3 的三角形自由图的染色数有界，该结果通过经典VC维重新证明，并扩展至最小度为 n/3 减去常数的情形，显示出更广的适用范围。
• H-自由图的染色阈值要么为 0，要么至少为 1/3，不存在中间值，确立了尖锐的阈值间隙。
• 对任意 c < 1/3，存在最小度至少为 cn 但染色数无界的 H-自由图，表明阈值在 1/3 处是紧致的。
• 当且仅当 H 是近似无环图时，H-自由图类的染色阈值为 0，与猜想一致，相关构造通过 Borsuk–Hajnal 图提供了证据。
• 通过配对VC维，给出了 Thomassen 结果的新证明：五边形自由图具有染色阈值 0，并将该结果推广至一类广泛的非二分图。
• 构造出最小度可任意接近 n/2 但染色数无界的局部二分图，支持了该类图染色阈值为 1/2 的猜想。