[论文解读] Coloring distance graphs: a few answers and many questions

Benoît Kloeckner|arXiv (Cornell University)|May 13, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用 10

一句话总结

本文研究了非欧几里得空间中距离图的色数，重点关注平面上的平移不变度量和双曲平面。通过证明平面上度量空间可能的色数集合恰好为自然数集与 ℵ₀ 的并集，解决了开放问题，并为双曲平面对不同距离的色数建立了界限，揭示了其与距离的对数依赖关系，同时提出了关于渐近行为和有限子图普遍性的新问题。

ABSTRACT

Given a metric space and a set of distances, one constructs the associated distance graph by taking as vertices the points of the space and as edges the pairs whose distance is in the given set. It is a longstanding open question to determine the chromatic number of the graph obtained from the Euclidean plane and a set reduced to one distance. Surprisingly, while many variants of this problem have been studied, only a few non-Euclidean spaces seem to have been seriously considered. In this paper, we consider the planar translation-invariant metrics and the hyperbolic plane. We answer questions of Johnson and Szlam, prove a few other results, and ask many questions.

研究动机与目标

• 确定在平面上平移不变度量空间上定义的距离图的所有可能色数的集合。
• 分析固定距离 d 下双曲平面的色数，特别是其对 d 的依赖关系。
• 解决 Johnson 和 Szlam 提出的关于非欧几里得设定下色数的开放问题。
• 探讨当 d 增大时，双曲平面对色数的渐近行为。
• 研究在足够大的 d 下，某些有限图是否在双曲距离图的所有 r-色染色中均以单色子图形式出现。

提出的方法

• 通过变换 ρ ↦ ρ/(1+ρ) 和 ρ ↦ min(ρ, r) 构造一族平面上的平移不变度量，以控制色数。
• 在双曲平面上使用基于镶嵌的着色策略，结合切片与棋盘图案，以界定色数。
• 基于双曲距离增长（e^r）的几何估计，确保不同区块中同色点之间的距离超过 d。
• 在选择公理下，应用 De Bruijn–Erdős 定理，将无限着色问题约化为有限子图的可着色性。
• 使用一种距离随径向距离呈指数增长的模型分析双曲平面，从而控制区块直径与块间距离。
• 为小距离引入 (d/2, d/2)-棋盘镶嵌，以推导出色数上界为 12。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平面上平移不变度量空间上的距离图，其所有可能色数的集合是什么？
• RQ2 双曲平面的色数是否随距离 d 线性增长？
• RQ3 如 Kahle 所建议，双曲平面的色数是否与 d 无关地有界？
• RQ4 对于哪些有限图 H，H 会在所有足够大的 d 的 G(ℍ², {d}) 的 r-色染色中作为单色子图出现？
• RQ5 当 d → 0 时，双曲平面的色数是否收敛于欧几里得平面的色数？

主要发现

• 平面上平移不变度量空间的所有可能色数集合恰好为 ℕ ∪ {ℵ₀}，解决了 Johnson 和 Szlam 的一个问题。
• 对于所有 d ≤ 2 ln(3/2) ≈ 0.81，双曲平面对距离 d 的色数至多为 12。
• 当 d 较大时，双曲平面的色数至少以 d / ln 3 的速度增长，建立了 d 阶的下界。
• 当 d → ∞ 时，双曲平面的色数趋于无穷大，意味着即使是最简单的两点带边图，也会在所有足够大的 d 的 r-色染色中以单色形式出现。
• 双曲平面在距离区间 [d, d(1+ε)] 下的色数至少以 e^{εd} 的速度增长，表明存在大团。
• 本文未解决的问题包括：双曲平面的色数是否关于 d 非减，以及在小 d 时是否等于欧几里得色数。