[论文解读] Combinatorial aspects of the Sachdev-Ye-Kitaev model

Matteo Laudonio, Romain Pascalie+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 38被引用 28

一句话总结

本文对Sachdev-Ye-Kitaev（SYK）模型及其彩色推广模型进行了组合分析，利用随机张量理论中的图解技术，识别出2点函数和4点函数的领先阶（LO）与次领先阶（NLO）费曼图。结果表明，在复数、彩色SYK模型中，非高斯无序性在$N$的领先阶下会改变耦合分布的方差，同时保持有效作用量中的重参数化不变性。

ABSTRACT

The Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) model is a model of $q$ interacting fermions whose large N limit is dominated by melonic graphs. In this review we first present a diagrammatic proof of that result by direct, combinatorial analysis of its Feynman graphs. Gross and Rosenhaus have then proposed a generalization of the SYK model which involves fermions with different flavors. In terms of Feynman graphs, these flavors can be seen as reminiscent of the colors used in random tensor theory. Applying modern tools from random tensors to such a colored SYK model, all leading and next-to-leading orders diagrams of the 2-point and 4-point functions in the large $N$ expansion can be identified. We then study the effect of non-Gaussian average over the random couplings in a complex, colored version of the SYK model. Using a Polchinski-like equation and random tensor Gaussian universality, we show that the effect of this non-Gaussian averaging leads to a modification of the variance of the Gaussian distribution of couplings at leading order in $N$. We then derive the form of the effective action to all orders.

研究动机与目标

• 使用费曼图的图解组合方法，对原始SYK模型中的胶子主导现象提供组合证明。
• 将此分析扩展至具有多种费米子味的彩色SYK模型，识别2点函数和4点函数的LO与NLO贡献。
• 利用类似Polchinski的流方程与高斯普适性，研究复数、彩色SYK模型中非高斯无序的影响。
• 推导该模型的有效作用量，并确定非高斯平均如何在$N$的领先阶下改变耦合方差。
• 探讨这些结果的普适性及其对SYK类张量模型与量子引力对偶性的意义。

提出的方法

• 使用边着色图的图解技术，对彩色SYK模型大$N$展开中的费曼图进行分类。
• 应用随机张量理论中的组合工具，识别在LO和NLO下贡献的胶子图与非胶子图。
• 采用类似Polchinski的流方程，证明在非高斯无序存在下仍具有高斯普适性。
• 通过施温格-戴逊方程推导有效作用量，得到修正耦合方差的代数方程。
• 使用顶点变量$t_v$与边贡献$\widetilde{G}_c(t_v, t_{v'})$计算图振幅，并施加适当的$N$缩放。
• 分析红外极限下的重参数化不变性，表明当$\Delta = 1/q$时，雅可比行列式与$G$缩放精确抵消。

实验结果

研究问题

• RQ1 在彩色SYK模型的大$N$极限下，哪些费曼图主导2点函数与4点函数？
• RQ2 边着色图的组合技术如何推广至SYK模型？在NLO下会出现哪些新图？
• RQ3 在复数、彩色SYK模型中，非高斯平均对$N$领先阶下耦合分布的影响是什么？
• RQ4 非高斯SYK模型的有效作用量在红外区域是否保持重参数化不变？
• RQ5 非高斯无序是否能改变高斯耦合分布的方差？如果可以，其机制如何？

主要发现

• 彩色SYK模型中的LO图重现了标准胶子图与链状（阶梯）图，证实了胶子主导现象。
• 在NLO下，2点函数与4点函数中均出现了新的非胶子图，其范围超出了标准阶梯近似。
• 当$q > 2$时，$N$领先阶下对高斯耦合分布的唯一修改是方差的平移，记为$\sigma'^2$。
• 修正后的方差满足代数方程$1 = \frac{\sigma'^2}{\sigma^2} + \sum_{\text{胶子图 } G} \frac{\lambda_G}{\text{Sym}(G)} (\sigma')^{v(G)}$，该方程由施温格-戴逊方程导出。
• 尽管有效作用量是非局部的，但在红外区域保持重参数化不变性，且当$\Delta = 1/q$时，雅可比行列式与$G$缩放精确抵消。
• 该方法成功识别了LO与NLO图，并可扩展至更高阶，如2点函数在NNLO下的示例所示。