[论文解读] Combinatorial Optimization Problems with Interaction Costs: Complexity and Solvable Cases

Stefan Lendl, Ante Ćustić+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2017

Data Management and Algorithms参考文献 41被引用 5

一句话总结

本文提出了组合优化问题中的交互成本（COPIC）这一通用框架，通过引入两个组合结构之间的交互成本，统一并扩展了经典问题（如二次分配问题和双线性分配问题）。主要贡献在于对COPIC在多种结构族（例如生成树、路径、拟阵）及交互成本矩阵（包括固定秩和对角矩阵）下的全面复杂性分析，同时明确了COPIC实例可线性化（即转化为多项式时间可解的线性优化问题）的条件。

ABSTRACT

We introduce and study the combinatorial optimization problem with interaction costs (COPIC). COPIC is the problem of finding two combinatorial structures, one from each of two given families, such that the sum of their independent linear costs and the interaction costs between elements of the two selected structures is minimized. COPIC generalizes the quadratic assignment problem and many other well studied combinatorial optimization problems, and hence covers many real world applications. We show how various topics from different areas in the literature can be formulated as special cases of COPIC. The main contributions of this paper are results on the computational complexity and approximability of COPIC for different families of combinatorial structures (e.g. spanning trees, paths, matroids), and special structures of the interaction costs. More specifically, we analyze the complexity if the interaction cost matrix is parameterized by its rank and if it is a diagonal matrix. Also, we determine the structure of the intersection cost matrix, such that COPIC is equivalent to independently solving linear optimization problems for the two given families of combinatorial structures.

研究动机与目标

• 正式化并研究两个解集之间存在交互成本的组合优化统一框架。
• 分析COPIC在生成树、路径和拟阵等基本组合结构族中的计算复杂性。
• 研究特殊交互成本矩阵结构（特别是固定秩和对角矩阵）对COPIC可 tractability 的影响。
• 识别COPIC实例可线性化的条件，即其可约化为线性优化问题的条件。
• 为理解交互成本在组合问题中作为NP难性的主要来源提供理论基础。

提出的方法

• 将COPIC形式化为最小化独立线性成本与两个选定结构之间成对交互成本之和的问题。
• 利用多参数规划分析交互成本矩阵Q具有固定秩r的COPIC实例，实现参数化复杂性分析。
• 通过识别交互成本矩阵Q可被等价线性成本替代的条件，刻画可线性化的COPIC实例。
• 应用CVP（代价向量多面体）概念，确定在特定族（如完美匹配和生成树）中，交互成本何时可被吸收进线性项。
• 分析对角交互成本矩阵以建模互斥性与装箱约束，并证明即使在这些结构下，非拟阵族的COPIC仍为NP难。
• 利用结构引理与反证法，建立无约束与有约束情形下线性可化的必要与充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 当交互成本矩阵为固定秩时，COPIC在何种条件下可在多项式时间内求解？当以秩为参数时，其是否为W[1]-难？
• RQ2 当可行集为路径或生成树时，COPIC在对角交互成本矩阵下是否可高效求解？其关于矩阵带宽的参数化复杂性如何？
• RQ3 当交互成本矩阵为对角矩阵且所有线性成本非负时，COPIC在特定族（如有界大小子集和s-t路径）下是否可在多项式时间内求解？
• RQ4 对于任意拟阵族，COPIC在对角交互成本下是否可在无成本符号限制时多项式时间求解？
• RQ5 匹配割问题能否作为对角COPIC的特例进行表述？这对图割优化有何启示？

主要发现

• COPIC是二次分配问题、双线性分配问题及其他经典组合优化问题的特例。
• 在完全二分图的完美匹配中，COPIC可线性化当且仅当交互成本矩阵Q属于第二类家族的CVP。
• 当一个可行族为幂集（2^[m]）时，COPIC可线性化当且仅当Q属于另一族的CVP，且该条件确保交互成本可被线性化。
• 即使对于对角交互成本矩阵，COPIC在非拟阵族（如生成树和路径）中仍为NP难，表明交互成本可独立于矩阵结构引发计算难度。
• 本文通过CVP框架，对生成树和完美匹配等若干组合结构的可线性化COPIC实例建立了完整刻画。
• 对于无约束解集（2^[m]或2^[n]），线性可化性成立当且仅当交互成本矩阵Q在子集上满足特定和不变性条件，这些条件由CVP条件所刻画。