[论文解读] Combinatorial results for certain semigroups of order-preserving full contraction mappings of a finite chain

A. D. Adeshola, Abdullahi Umar|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2013

semigroups and automata theory参考文献 5被引用 9

一句话总结

本文研究了在大小为 $ n $ 的有限链上，保序与反序全收缩映射的半群的组合结构。通过基于高度、不动点和腰宽的等价类分析，作者推导出这些半群的精确基数公式，包括 $|ΣΡΣ}_n| = (n+1)2^{n-1} - n$，并引入了在 OEIS 中记录的新整数三角形。该研究建立了变换不变量与半群理论中组合计数之间的联系。

ABSTRACT

Let ${\cal T}_n$ be the full symmetric semigroup on $X_n = \{1, 2,..., n\}$ and let ${\cal OCT}_n$ and ${\cal ORCT}_n$ be its subsemigroups of order-preserving and order-preserving or order-reversing full contraction mappings of $X_n$, respectively. In this paper we investigate the cardinalities of some equivalences on ${\cal OCT}_n$ and ${\cal ORCT}_n$ which lead naturally to obtaining the orders of these subsemigroups.

研究动机与目标

• 确定在有限链上全收缩映射的半群 $\mathcal{OCT}_n$、$\mathcal{ORCT}_n$ 和 $\mathcal{ODCT}_n$ 中等价类的基数。
• 利用高度、不动点和腰宽等不变量，推导出 $\mathcal{OCT}_n$、$\mathcal{ORCT}_n$ 和 $\mathcal{ODCT}_n$ 的阶的闭式表达式。
• 刻画这些半群中幂等元与幂零元的集合，并通过组合方法进行计数。
• 建立变换不变量与已知组合序列之间的联系，从而在 OEIS 中产生新条目。

提出的方法

• 定义 $\mathcal{T}_n$ 中变换的关键不变量：高度 $h(\alpha)$、不动点 $f(\alpha)$ 以及左右腰宽 $w^{\pm}(\alpha)$。
• 利用收缩映射下像集与不动点集的凸性，约束可能的配置。
• 根据高度 $p$、不动点 $m$ 和腰宽 $k$ 对变换进行分类，并通过组合论证计数等价类。
• 应用递推关系与生成函数，特别是 $b(n,p)$，即高度为 $p$ 且具有一个不动点的反序收缩的数量。
• 利用关于幂等元与幂零元的已知结果，尤其是幂等元满足 $\mathop{\rm Im}\nolimits\epsilon = F(\epsilon)$ 的条件。
• 使用二项式系数与递推关系推导出闭式公式，包括 $F(n;p,k,m) = \binom{n-m-1}{p-m}$，适用于 $\mathcal{ODCT}_n$。

实验结果

研究问题

• RQ1 大小为 $n$ 的有限链上，保序全收缩的确切数量是多少？
• RQ2 高度、不动点与腰宽这些不变量如何划分半群 $\mathcal{ORCT}_n$？这些类的大小如何？
• RQ3 $\mathcal{ORCT}_n$ 中反序全收缩的总数是多少？它与已知组合序列有何关联？
• RQ4 $\mathcal{ODCT}_n$ 与 $\mathcal{ORCT}_n$ 中的幂等元如何在不同高度与不动点值上分布？
• RQ5 这些半群的计数过程中会涌现出哪些新的组合三角形或序列？

主要发现

• 保序或反序全收缩半群 $\mathcal{ORCT}_n$ 的阶为 $|\mathcal{ORCT}_n| = (n+1)2^{n-1} - n$，对所有 $n \geq 1$ 成立。
• 高度为 $p$ 且具有一个不动点的反序全收缩的数量为 $b(n,p) = (n-p+1)\sum_{i \geq 1} \binom{n-2i}{p-2i}$。
• 高度为 $p$ 且不动点为 $m$ 的保序全收缩的数量为 $F(n;p,k,m) = \binom{n-m-1}{p-m}$，当 $p = k$ 时成立，否则为零。
• 保序且降序的全收缩半群 $\mathcal{ODCT}_n$ 的阶为 $|\mathcal{ODCT}_n| = 2^{n-1}$，对所有 $n \geq 1$ 成立。
• $\mathcal{ODCT}_n$ 中幂等元的数量恰好为 $n$，且与可能的不动点一一对应。
• $\mathcal{ORCT}_n$ 的序列 $F(n;m_0)$ 满足递推关系 $na_n = (n+2)a_{n-1} + 2(n+1)a_{n-2}$，初始值为 $a_1 = 1$，$a_2 = 2$，并对应于 OEIS 中记录的新整数序列。