[论文解读] Combinatorics of $\mathbf{R}$-, $\mathbf{R^{-1}}$-, and $\mathbf{R^*}$-operations and asymptotic expansions of feynman integrals in the limit of large momenta and masses

K.G. Chetyrkin|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2017

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 11被引用 18

一句话总结

本文为量子场论中 R、R⁻¹ 和 R* 操作构建了一个统一的组合框架，将森林技术推广以简化维度正规化下的重整化。它建立了一个简洁的算法，通过无质量传播子积分计算紫外发散，并证明了费曼积分在大动量和大质量极限下的有限渐近展开，该结果对最小减去的欧几里得振幅有效。

ABSTRACT

A generalization of the forest technique procedure --- the $R^{-1}$-operation---is elaborated and then employed to treat a variety of problems. First, it is employed to reveal the underlying simple structure of the Bogoliubov-Parasiuk renormalization prescription based on momentum subtractions. Second, we use this structure to derive a generalized Zimmermann identity connecting two different renormalized versions of a given Feynman integral. Third, the recursive procedure to minimally subtract the ultraviolet and infrared divergences from euclidean, dimensionally regularized Feynman integrals---the $R^*$-operation--- is simplified by reformulating it in terms of the R-operation alone. The new formulation is shown to lead immediately to a simple and regular algorithm for evaluating the overall ultraviolet divergences of arbitrary dimensionally regularized Feynman integrals, (including the ones appearing in two-dimensional field-theoretical models), the algorithm neatly reducing the problem to computing some massless propagator-type integrals. Finally, we construct a brief and concise proof of a general theorem which gives an explicitly finite large momenta and/or masses asymptotic expansion of an arbitrary (minimally subtracted) euclidean Feynman integral.

研究动机与目标

• 将 R⁻¹ 操作推广，以阐明 Bogoliubov-Parasiuk 重整化方案的组合结构。
• 推导一个广义的 Zimmermann 恒等式，连接费曼积分不同重整化版本之间的关系。
• 将 R* 操作（在 MS 方案中使用）完全重新表述为仅基于 R 操作的形式，从而简化其算法实现。
• 构建一个规则且有限的算法，用于计算维度正规化费曼积分的整体紫外发散，将问题简化为无质量传播子型积分的计算。
• 为最小减去的欧几里得费曼积分在大动量和大质量极限下，提供一个一般性有限渐近展开的简洁证明。

提出的方法

• 引入 R⁻¹ 操作作为 R 操作的组合逆，通过类似森林的结构实现发散的递归减去。
• 将 R⁻¹ 操作应用于揭示基于动量减去的重整化（特别是 BPHZ 方案）的内在简洁性。
• 仅使用 R 操作重新表述 MS 方案中的 R* 操作，消除了对独立 R* 递归的依赖。
• 采用广义森林技术系统处理重叠发散，并在维度正规化中定义反项。
• 将整体紫外发散的计算简化为一组标准无质量传播子积分的计算，显著简化了计算过程。
• 利用 R* 归一化，推导出大动量和大质量区域中费曼积分的有限渐近展开，该结果在微扰理论的所有阶次下均成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 R⁻¹ 操作如何被系统地定义并应用于阐明基于动量减去的重整化结构？
• RQ2 不同版本的费曼积分之间的组合关系是什么？能否通过广义的 Zimmermann 恒等式捕捉这种关系？
• RQ3 MS 方案中的 R* 操作能否被完全重铸为仅基于 R 操作的形式，以简化其算法实现？
• RQ4 是否存在一个通用且规则的算法，用于计算任意维度正规化费曼积分的整体紫外发散？
• RQ5 在大动量和大质量极限下，最小减去的欧几里得费曼积分的渐近展开结构是什么？

主要发现

• R⁻¹ 操作为基于动量减去的 Bogoliubov-Parasiuk 重整化方案提供了清晰的组合解释。
• 推导出一个广义的 Zimmermann 恒等式，通过 R⁻¹ 操作连接给定费曼积分的两个不同重整化版本。
• R* 操作被完全重新表述为仅基于 R 操作的形式，从而得到一个更简单且更规则的算法，用于计算紫外和红外反项。
• 任意维度正规化费曼积分的整体紫外发散被简化为标准无质量传播子型积分的计算，实现了高效计算。
• 在大动量和大质量极限下，对最小减去的欧几里得费曼积分的有限渐近展开进行了严格证明，且在微扰理论的所有阶次下均成立。
• 该方法在包含二维场论在内的所有有质量与无质量理论中均适用，且与 MS 方案中对动量和质量的多项式依赖性保持一致。