[论文解读] Comment on "Conceptual Inadequacy of Shannon Information ..." by C. Brukner and A. Zeilinger

Michael J. W. Hall|ArXiv.org|Jul 31, 2000

Neural Networks and Applications参考文献 2被引用 8

一句话总结

本文挑战了Brukner和Zeilinger（2000年）论文中对香农熵和冯·诺依曼熵的批评，认为其对香农熵的否定基于一种与连续测量相关的狭隘解释。本文表明，通过非重叠系综和混合态，香农熵具有有效的物理诠释，并通过一种独特的基于体积的度量，建立了经典与量子不确定性的深层几何与操作联系，其中量子信息度量是所有可观测量上经典度量的平均值。

ABSTRACT

It is pointed out that the case for Shannon entropy and von Neumann entropy, as measures of uncertainty in quantum mechanics, is not as bleak as suggested in quant-ph/0006087. The main argument of the latter is based on one particular interpretation of Shannon's H-function (related to consecutive measurements), and is shown explicitly to fail for other physical interpretations. Further, it is shown that Shannon and von Neumann entropies have in fact a common fundamental significance, connected to the existence of a unique geometric measure of uncertainty for classical and quantum ensembles. Some new properties of the ``total information'' measure proposed in quant-ph/0006087 are also given.

研究动机与目标

• 反驳Brukner和Zeilinger（2000年）提出的观点，即香农熵在量子测量中本质上不充分。
• 表明反对香农熵的观点依赖于一种特定的、狭隘的解释，即涉及连续测量，该解释并非普遍有效。
• 基于非重叠概率分布的混合态，建立香农熵的物理上有意义的诠释。
• 通过一种独特的基于体积的不确定度度量，证明经典香农熵与量子冯·诺依曼熵之间存在深层的几何与操作联系。
• 证明量子总信息度量 $ I(\rho) $ 等价于所有可观测量上经典 $ I(A) $ 的平均值，且该结果不依赖于互补可观测量的存在。

提出的方法

• 通过非重叠系综和混合诱导的不确定性，重新表述香农熵的分组公理，避免依赖连续测量。
• 利用香农熵的对称性与连续性公理，推导出标准形式 $ H(p) = -C \sum p_i \ln p_i $。
• 引入一种基于系综体积的几何不确定度度量，满足可加性且在酉变换下保持不变。
• 推导关键恒等式 $ I(\rho) = (n+1) \int I(UAU^\dagger) dU $，表明量子信息度量是所有可观测量上的平均值。
• 采用酉变换上的哈尔测度，并对纯态进行不变积分，以计算 $ I(A) $ 的平均值。
• 利用关于 $ |\langle a|b\rangle|^2 $ 分布的已知结果，评估积分并确定平均值中的比例常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当基于连续测量时，对量子力学中香农熵的反对观点是否成立？
• RQ2 香农熵能否在不依赖连续测量的前提下获得物理上有意义的诠释？
• RQ3 是否存在一种几何或操作基础，能够统一经典与量子不确定度度量？
• RQ4 当不存在一组完整的互补可观测量时，量子总信息度量 $ I(\rho) $ 是否仍然有效？
• RQ5 量子信息度量能否表示为所有可观测量上经典度量的平均值？

主要发现

• Brukner和Zeilinger（2000年）的论点失败，因其依赖于一种特定的、非普适的分组公理解释，即涉及连续测量。
• 香农熵可通过非重叠系综的混合态获得有效的物理诠释，其中由于混合概率的存在，不确定性以可加方式增加。
• 香农熵的法德耶夫形式分组公理可被重新诠释，且无需涉及连续测量，同时保持其有效性。
• 对于经典与量子系综，存在一种独特的不确定度几何度量，非重叠系综的混合体积满足可加性。
• 量子总信息度量 $ I(\rho) $ 等于 $ (n+1) \int I(UAU^\dagger) dU $，证明其在所有可观测量上的不变性与普遍性。
• 所有可观测量上经典 $ I(A) $ 的平均值可得出量子 $ I(\rho) $，且该结果不依赖于是否存在 $ n+1 $ 个相互互补的可观测量。