[论文解读] Comment on `Non-existence of the Luttinger-Ward functional and misleading convergence of skeleton diagrammatic series for Hubbard-like models'

R. Eder|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2014

Quantum many-body systems被引用 4

一句话总结

本文挑战了 Kozik 等人关于 Luttinger-Ward 泛函在 Hubbard 类模型中不存在的结论。它指出，在 $ G_0^{-1}(u) $ 解析的物理合理假设下，自能 $ \Sigma(u) $ 和非相互作用格林函数 $ G_0(u) $ 由精确的 $ G(u) $ 唯一确定，从而解释了 Kozik 等人因数值解中 $ G_0^{-1} $ 非解析而导致其结果中出现的表观歧义。

ABSTRACT

The known analytical properties of the Green's function and self-energy rule out an ambiguity of the self-energy. The noninteracting Green's functions obtained by Kozik et al. in arXiv:1407.5687 likely have pathological properties.

研究动机与目标

• 挑战 Kozik 等人关于因从 $ G $ 重构 $ G_0 $ 和 $ \Sigma $ 时存在非唯一性，导致 Luttinger-Ward 泛函不存在的结论。
• 证明 $ \Sigma $ 的表观歧义源于 Kozik 等人数值解中 $ G_0^{-1} $ 的非解析性，而非根本性的非唯一性。
• 确立在物理上合理的 $ G_0^{-1} $ 解析性假设下，通过已知的解析结构，$ \Sigma $ 和 $ G_0 $ 可由 $ G $ 唯一确定。
• 解释 Kozik 等人工作中骨架图式级数的误导性收敛，是由于使用了接近完全相互作用的 $ G_0 $，其本身已包含 Hubbard 带。
• 澄清：从此类接近相互作用的 $ G_0 $ 得到的自能必然是微小的，因此收敛于微小修正在数值上显得误导性地合理。

提出的方法

• 从 Lehmann 表示出发，推导 $ G(\nu) $ 和 $ \Sigma(\nu) $ 的解析结构，表明 $ G(\nu) $ 具有正留数的单极点，且 $ \Sigma(\nu) $ 具有形式 $ \Sigma(\nu) = \eta + \sum_i \sigma_i / (\nu - \zeta_i) $，其中 $ \eta $ 为实数，$ \sigma_i > 0 $，且 $ \zeta_i $ 为实数。
• 利用 Dyson 方程 $ G^{-1} = G_0^{-1} - \Sigma $ 及 $ G_0^{-1} $ 解析的要求，证明 $ G $ 的极点 $ \zeta_i $ 和 $ G $ 在 $ \nu = \zeta_i $ 处的导数 $ dG/d\nu|_{\nu=\zeta_i} $ 唯一确定 $ \sigma_i $ 和 $ \eta $。
• 证明若 $ G_0^{-1} $ 解析，则 $ \Sigma $ 必在 $ G $ 的零点（即 $ \zeta_i $）处发散，且 $ \Sigma $ 的极点数比 $ G $ 少一个。
• 分析 $ G_0^{-1} $ 在 $ \nu = \zeta_i $ 附近的性质，表明 $ G_0^{-1} \sim -\sigma_i / (\nu - \zeta_i) + c_0 + \cdots $，从而推出 $ dG/d\nu|_{\nu=\zeta_i} = -1/\sigma_i $，因此 $ \sigma_i $ 可由 $ G $ 唯一确定。
• 论证 Hartree-Fock 位移 $ \eta $ 由 $ G $ 唯一确定，从而消除了自能中的任何歧义。
• 将 Kozik 等人的数值结果与解析预期进行比较，表明其非物理解违反了 $ G_0^{-1} $ 的解析性，其证据为 $ \Sigma $ 在 $ \nu \to 0 $ 处未出现发散。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kozik 等人声称因从 $ G $ 重构 $ G_0 $ 和 $ \Sigma $ 时存在非唯一性，导致 Luttinger-Ward 泛函不存在，这一结论是否成立？
• RQ2 在物理上合理的假设下，自能 $ \Sigma $ 是否可由精确格林函数 $ G $ 唯一确定？
• RQ3 解析性在确保 $ \Sigma $ 和 $ G_0 $ 唯一性方面起什么作用？
• RQ4 为何 Kozik 等人的迭代重构方法对同一 $ G $ 得到多个 $ (G_0, \Sigma) $ 对？这是根本性问题还是数值误差？
• RQ5 在数值求解器中使用接近完全相互作用的 $ G_0 $ 如何解释骨架图式级数的误导性收敛？

主要发现

• 在 $ G_0^{-1} $ 解析的假设下，自能 $ \Sigma $ 由精确的 $ G $ 唯一确定，其极点位于 $ G $ 的零点处，且留数由 $ G $ 在这些点处的斜率唯一固定。
• $ \Sigma(\nu) $ 中的加法常数 $ \eta $（代表 Hartree-Fock 势）由 $ G $ 唯一确定，从而消除了自能中的任何歧义。
• Kozik 等人的数值解对应于非解析的 $ G_0^{-1} $，其证据为 $ \Sigma $ 在 $ \nu \to 0 $ 处未出现发散，这与预期的解析结构相矛盾。
• Kozik 等人发现的非物理解可能使用了接近精确相互作用格林函数的 $ G_0 $，其中已包含 Hubbard 带，导致自能修正较小，因此在图式级数中表现出误导性收敛。
• 通过接近相互作用的 $ G_0 $ 从 QMC 获得的自能与通过低阶骨架展开获得的自能相似，并不令人意外，因为两者均对已接近精确解的格林函数施加了微小修正。
• Kozik 等人工作中骨架级数的误导性收敛，是由于其输入 $ G_0 $ 本身已包含主导物理图像（Hubbard 带），因此自能为微小修正，即使泛函形式错误，收敛性在数值上仍显得合理。