[论文解读] Common Denominator for Value and Expectation No-Go Theorems

Andreas Blass, Yuri Gurevich|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2017

Quantum Mechanics and Applications参考文献 10被引用 24

一句话总结

本文通过将所有测量限制为秩-1投影，为隐变量（HV）理论中的值与期望无可能定理建立了一个统一框架，从而实现了两种方法的直接比较。结果表明，两种方法互不包含：期望无可能定理要求态映射具有凸线性性，而值无可能定理则不需要；贝尔对量子比特的2D HV模型之所以能避开期望无可能定理，正是因为它无法被凸线性地延拓至混合态。

ABSTRACT

Hidden-variable (HV) theories allege that a quantum state describes an ensemble of systems distinguished by the values of hidden variables. No-go theorems assert that HV theories cannot match the predictions of quantum theory. The present work started with repairing flaws in the literature on no-go theorems asserting that HV theories cannot predict the expectation values of measurements. That literature gives one an impression that expectation no-go theorems subsume the time-honored no-go theorems asserting that HV theories cannot predict the possible values of measurements. But the two approaches speak about different kinds of measurement. This hinders comparing them to each other. Only projection measurements are common to both. Here, we sharpen the results of both approaches so that only projection measurements are used. This allows us to clarify the similarities and differences between the two approaches. Neither one dominates the other.

研究动机与目标

• 解决文献中关于期望无可能定理被认为包含值无可能定理的不一致问题。
• 澄清测量类型的区别：价值理论测量（谱结果）与期望理论测量（POVM的二元结果）。
• 表明只有投影测量同时属于两种方法，从而实现公平比较。
• 通过贝尔的2D HV模型作为反例，证明期望方法并不包含价值方法。
• 通过将效应限制为秩-1投影并取消对效应映射的凸线性性要求，弱化期望无可能定理的假设。

提出的方法

• 将期望表示定义为三元组 $(\Lambda, \mu, F)$，其中 $\mu$ 将密度算符映射到隐藏变量空间 $\Lambda$ 上的概率测度，$F$ 将秩-1投影映射到 $[0,1]$-值可测函数。
• 要求量子力学期望值 $\mathrm{Tr}(\rho E)$ 等于隐藏变量平均值 $\int_\Lambda F(E)\,d\mu(\rho)$，以确保与量子预测的一致性。
• 建立首个自举定理：任何在更大希尔伯特空间 $\mathcal{H}'$ 上的期望表示，均可诱导出在闭子空间 $\mathcal{H}$ 上的期望表示。
• 利用旋转对称性与阿基米德关于球帽的定理，验证贝尔的2D HV模型对 $\sigma_z$ 的量子期望值预测正确。
• 证明贝尔模型无法通过凸线性 $\mu$ 延拓至混合态，从而说明其避开了期望无可能定理。
• 表明在无限维空间中，值无可能定理需要更强的假设，尽管在有限维空间中秩-1投影已足够。

实验结果

研究问题

• RQ1 若两种无可能定理依赖于不同类型的测量，能否对它们进行有意义的比较？
• RQ2 期望无可能定理是否包含值无可能定理，或二者是否独立？
• RQ3 贝尔对量子比特的2D隐变量模型能否在保持态映射凸线性性的前提下延拓至混合态？
• RQ4 期望无可能定理是否必须要求 $\mu$ 在密度算符上具有凸线性性，还是可弱化该条件？
• RQ5 秩-1投影是否足以在价值与期望框架中推导出无可能定理？

主要发现

• 唯一同时属于价值与期望方法的测量是秩-1投影，它们既作为可观测量（具有谱值），也作为效应（具有二元结果）。
• 仅使用秩-1投影作为效应，即可证明期望无可能定理，且 $\mu$ 的凸线性性已足够；$F$ 的凸线性性并非必需。
• 在有限维希尔伯特空间中，秩-1投影足以推导出值无可能定理，但在无限维空间中该结论不成立。
• 贝尔对量子比特的2D隐变量模型能正确预测量子期望值，但无法通过凸线性 $\mu$ 延拓至混合态，因此避开了期望无可能定理。
• 期望方法并不包含价值方法，因为贝尔模型是反例：它满足量子预测，但违反了期望无可能定理中所需的凸线性性条件。
• 首个自举定理确保：若在更大的希尔伯特空间上存在期望表示，则其在任意闭子空间上诱导出的表示也保持一致性。