[论文解读] Common fixed points for three or four mappings via common fixed point for two mappings

Cristina Di Bari, Pasquale Vetro|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2013

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文证明，通过使用选择公理进行集合论选择，将问题约化为在子集上构造单射映射，常见不动点结果（针对三个或四个映射）可从对应两个映射的结果推导得出。关键贡献在于提出一个统一框架，表明在广义Berinde型压缩条件下，复杂多映射不动点定理可约化为更简单的两映射情形，从而在完备度量空间中确保公共不动点的存在性与唯一性。

ABSTRACT

In this paper, we shall show that some coincidence point and common fixed point results for three or four mappings could easily be obtained from the corresponding fixed point results for two mappings.

研究动机与目标

• 证明三个或四个映射的公共不动点定理可从对应两映射的结果推导得出。
• 通过集合选择将多映射问题约化为两映射框架，推广现有不动点定理。
• 在涉及四个参数和一个非负参数 L 的广义压缩条件下，建立公共不动点的存在性与唯一性。
• 通过利用弱相容性与完备性假设，将不动点理论的应用范围扩展至多映射系统。

提出的方法

• 使用引理1（来自Haghi等人），选取子集 E ⊂ X，使得 fE = fX 且 f: E → X 为单射，从而在 fE 上构造新的自映射。
• 在 fE 上定义新映射 g 和 h，令 g(fx) = Sx 和 h(fx) = Tx，将三映射问题转化为在完备子空间上的两映射问题。
• 应用定理1，该定理在涉及 α, β, γ, δ 和 L 的Berinde型压缩条件下，为两个自映射 S 和 T 建立公共不动点，其中 α+β+γ+2δ < 1。
• 利用 (S,f) 和 (T,f) 的弱相容性，通过引理2确保重合点唯一并成为公共不动点。
• 将方法扩展至四映射情形，引入两个控制映射 f 和 g，使 S 和 T 映射到 fX = gX，并在 fE 上构造映射 A 和 B。
• 证明 A 和 B 在 fE 上的公共不动点对应于 S, T, f, g 在弱相容性与完备性条件下的唯一公共不动点。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过集合论选择将三个或四个映射的公共不动点结果约化为两映射情形？
• RQ2 何种压缩条件可确保在弱相容性下，三个映射的公共不动点存在且唯一？
• RQ3 通过引理1使用选择公理如何实现多映射不动点问题向两映射问题的约化？
• RQ4 fX 的完备性在确保不动点收敛性与唯一性方面起何作用？
• RQ5 在何种条件下，当映射弱相容时，重合点唯一并成为公共不动点？

主要发现

• 在广义Berinde型条件下，参数满足 α+β+γ+2δ < 1 且 L ≥ 0 时，若 SX 或 TX 完备，则两个映射 S 和 T 的公共不动点存在且唯一。
• 对于三个映射 S, T, f，若 fX 完备，(S,f) 和 (T,f) 弱相容，且压缩条件 (2) 成立，则存在唯一公共不动点。
• 对于四个映射 S, T, f, g，若 fX 完备，(S,f) 和 (T,g) 弱相容，且压缩条件 (4) 成立，则存在唯一公共不动点。
• 在条件 (5) 下，S, T, f 的重合点唯一，且因弱相容性而成为公共不动点。
• 在条件 (6) 下，S, T, f, g 的重合点唯一，且因弱相容性而成为公共不动点。
• 通过引理1的约化方法确保所有关于三个或四个映射的结果均可直接从两映射情形推出，从而简化证明并推广现有定理。