[论文解读] Commuting graphs of odd prime order elements in simple groups

Barbara Baumeister, Alexander Stein|ArXiv.org|Aug 18, 2009

Finite Group Theory Research参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文研究有限单群中奇素数阶元素的交换图，确定其图中存在大连通分支的条件。证明了当且仅当该群不属于特定列表中的交错群或偶特征的典型型群时，此类图具有大连通分支，并表明大连通分支的存在意味着Sylow p-子群非循环且不存在强p-嵌入子群。

ABSTRACT

We study the commuting graph on elements of odd prime order in finite simple groups. The results are used in a forthcoming paper describing the structure of Bruck loops and Bol loops of exponent 2.

研究动机与目标

• 确定有限单群中奇素数阶元素的交换图的连通性结构。
• 分类那些其奇素数阶元素交换图缺乏大连通分支的有限单群。
• 建立大连通分支存在时的结构含义，例如Sylow p-子群的性质以及强p-嵌入子群的缺失。
• 为有限Bol环和Bruck环（指数为2）的特征刻画提供基础，作为一项应用研究计划的一部分。
• 识别特定共轭类之间的连通性，从而保证交换图中大连通分支的存在。

提出的方法

• 在有限单群 $G$ 的所有奇素数阶元素集合 $\cal O$ 上定义交换图 $\Gamma_{\cal O}$。
• 通过共轭作用对连通分支进行分类：'大'（在共轭下封闭，包含完整的共轭类）或'小'。
• 应用极大子群结构和中心化子分析结果，特别是模 $r$ 下 $q$ 的阶 $d_q(r)$。
• 利用 [LSS]、[CLSS] 和 [ATLAS] 中已知的子群数据，分析中心化子并确定连通分支的大小。
• 应用关于典型型群（尤其是偶特征下）共轭类连通性的定理，识别出存在大连通分支的情形。
• 应用关于 $p$-局部结构的结果，包括强 $p$-嵌入子群的不存在性以及非循环Sylow $p$-子群的性质，推导出群的结构约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限单群的奇素数阶元素交换图不包含大连通分支？
• RQ2 奇素数阶元素交换图在何种条件下包含大连通分支？
• RQ3 大连通分支的存在隐含哪些结构性质（例如Sylow $p$-子群类型、强 $p$-嵌入子群的存在性）？
• RQ4 对于偶特征下的哪些典型型群，奇素数阶元素的共轭类能生成连通的交换图？
• RQ5 阶 $d_q(r)$ 和极大子群的结构如何影响 $\Gamma_{\cal O}$ 中连通分支的大小与连通性？

主要发现

• 当且仅当 $G$ 同构于 $A_n$ ($n \geq 8$)、$^2B_2(q)$、$^2G_2(q)$、$^2A_2(q)$ 且 $\frac{q+1}{(q+1,3)}$ 为2的幂，或属于 $M_{11}, J_1, A_2(4)$ 之一时，交换图 $\Gamma_{\cal O}$ 不含大连通分支。
• 若 $\Gamma_{\cal O}$ 含有大连通分支，则存在一个奇素数阶 $p$ 的元素 $x$，使得 $\Gamma_p$（即所有阶为 $p$ 的元素构成的交换图）是连通的。
• 大连通分支的存在意味着 $G$ 不存在强 $p$-嵌入子群，且对任意满足 $x \in \Gamma_p$ 的素数 $p$，其Sylow $p$-子群均非循环。
• 对于交错群 $A_n$ ($n \geq 8$)，3-循环的共轭类可生成连通的交换图。
• 在 $A_n(q)$ 和 $^2A_n(q)$（$q$ 为偶数）中，当素数阶 $r$ 整除 $q^{2}-1$ 时，会产生连通分支，且中心化子结构 $E(C_G(x))/Z(E(C_G(x)))$ 分别同构于 $A_{n-2}(q)$ 或 $^2A_{n-2}(q)$。
• 对于 $F_4(q)$、$E_6(q)$、$^2E_6(q)$、$E_7(q)$ 和 $E_8(q)$ 等例外群，当 $d_q(r) \in \{8,9,12,14,18,24\}$ 时会产生小连通分支，具体取决于特定极大子群的存在性及中心化子结构。