[論文レビュー] Compactifications of moduli spaces inspired by mirror symmetry

David R. Morrison|ArXiv.org|Apr 23, 1993

Geometric and Algebraic Topology参考文献 39被引用数 115

ひとこと要約

この論文は、鏡対称性にインspiredされた、Calabi-Yau多様体のモジュライ空間のコンパクト化を提案し、Looijengaの半トーリックコンパクト化を非算術的商へ拡張する。最小部分コンパクト化をSatake-Baily-Borelに類似して導入し、最大の単位元境界点が特定のKähler錐と算術的データを有する鏡対称Calabi-Yau多様体に対応するとの仮説を提示し、モジュライコンパクト化における鏡対称性の幾何的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We study moduli spaces of nonlinear sigma-models on Calabi-Yau manifolds, using the one-loop semiclassical approximation. The data being parameterized includes a choice of complex structure on the manifold, as well as some ``extra structure'' described by means of classes in H^2. The expectation that this moduli space is well-behaved in these ``extra structure'' directions leads us to formulate a simple and compelling conjecture about the action of the automorphism group on the Kähler cone. If true, it allows one to apply Looijenga's ``semi-toric'' technique to construct a partial compactification of the moduli space. We explore the implications which this construction has concerning the properties of the moduli space of complex structures on a ``mirror partner'' of the original Calabi-Yau manifold. We also discuss how a similarity which might have been noticed between certain work of Mumford and of Mori from the 1970's produces (with hindsight) evidence for mirror symmetry which was available in 1979. [The author is willing to mail hardcopy preprints upon request.]

研究の動機と目的

• 鏡対称性の知見を用いて、Calabi-Yau多様体のモジュライ空間の幾何的コンパクト化を構築すること。
• 対称領域の非算術的商に限らない一般のモジュライ空間へ、Looijengaの半トーリックコンパクト化を拡張すること。
• 複素構造モジュライとKählerモジュライの鏡対称性による双対性を反映する、最小部分コンパクト化を定式化すること。
• 最大の単位元境界点と、指定された自己同型群およびKähler錐を有する鏡対称Calabi-Yau多様体との対応関係を仮説化すること。
• Kähler錐などの無限離散構造（例：Kähler錐）が自己同型群による商をとることで、有限データに還元されることを、仮説的なKähler錐性質を通じて明確化すること。

提案手法

• 鏡対称性に由来する非算術的モジュライ空間に、Looijengaの半トーリックコンパクト化フレームワークを適応する。
• 退化の解析のため、モジュライ空間の正則余接バンドル上に平坦接続を導入する。
• 特に非正規交叉型の境界点を、Hodge構造の退化変動を用いて分析する。
• 鏡対称性双対性を適用：あるCalabi-Yau多様体の複素構造モジュライは、その鏡パートナーのKählerモジュライに対応する。
• Satake-Baily-Borel分解に基づき、Kähler錐の有理的凸包から構成される、Satake-Baily-Borelに類似した最小コンパクト化を提案する。
• 仮説的なKähler錐性質を用いて、無限離散データ（例：正則線形系）が自己同型群による商をとることで有限データに還元されることを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi-Yau多様体のモジュライ空間を、鏡対称性双対性を反映する方法でどのようにコンパクト化できるか？
• RQ2 Calabi-Yau多様体のモジュライ空間における最大の単位元境界点の幾何的意味は何か？
• RQ3 Satake-Baily-Borelコンパクト化に類似した、非算術的モジュライ空間に対する最小部分コンパクト化を構成できるか？
• RQ4 鏡対称Calabi-Yau多様体のKähler錐は、モジュライ空間境界の構造とどのように関係するか？
• RQ5 自己同型群および整数コホモロジーが、境界点におけるコンパクト化データを定義する上で果たす役割は何か？

主な発見

• Satake-Baily-Borelコンパクト化に類似した、Calabi-Yau多様体のモジュライ空間の最小部分コンパクト化が存在するとの仮説が提示され、特徴的な最大の単位元境界点が存在する。
• 各最大の単位元境界点は、そのKähler錐${\cal K}_j$および自己同型群$\mathop{\rm Aut}(X_j)$を備えた鏡対称Calabi-Yau多様体$X_j$に対応する。
• 算術的データ$\Gamma_j$は、$H^2(X_j,\mathbb{Z})$を torsion で割った商を$\mathop{\rm Aut}(X_j)$で割ったものとして定義され、モジュライ空間上に作用する離散群をなす。
• 各境界点における局所的有理的多面体分割${\cal P}_j$は、Kähler錐の閉包の有理的凸包$({\cal K}_j)_+$のSatake-Baily-Borel分解と同定される。
• 仮説的なKähler錐性質により、無限離散構造（例：正則線形系）が自己同型群による商をとることで有限データに還元されることを明確にし、A. Grassiとの非自明な事例で検証された。
• Moriの1979年の実乗法を持つアーベル曲面の例とMumfordの図1の歴史的関連性が示され、双対性が認識されていれば1979年ごろに鏡対称性が予見可能であった可能性が示唆された。