[论文解读] Compactness of higher-order Sobolev embeddings

Lenka Slavíková|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2013

Numerical methods in engineering被引用 1

一句话总结

本文建立了更高阶Sobolev空间 $V^mX(\Omega, \nu)$ 到重新排列不变空间 $Y(\Omega, \nu)$ 的紧嵌入的精确准则，其中 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ 配备概率测度 $\nu$。紧致性通过定义于域的等周函数 $I_{\Omega,\nu}$ 的一维积分算子 $H^m_I$ 的紧致性来刻画。关键结果为：当且仅当该算子将 $X(0,1)$ 紧致映射到 $Y(0,1)$ 时，紧致性成立，且在John域和高斯型空间中推导出Lorentz空间和Orlicz空间的显式条件。

ABSTRACT

We study higher-order compact Sobolev embeddings on a domain $\Omega \subseteq \mathbb R^n$ endowed with a probability measure $ u$ and satisfying certain isoperimetric inequality. Given $m\in \mathbb N$, we present a condition on a pair of rearrangement-invariant spaces $X(\Omega, u)$ and $Y(\Omega, u)$ which suffices to guarantee a compact embedding of the Sobolev space $V^mX(\Omega, u)$ into $Y(\Omega, u)$. The condition is given in terms of compactness of certain one-dimensional operator depending on the isoperimetric function of $(\Omega, u)$. We then apply this result to the characterization of higher-order compact Sobolev embeddings on concrete measure spaces, including John domains, Maz'ya classes of Euclidean domains and product probability spaces, whose standard example is the Gauss space.

研究动机与目标

• 建立更高阶Sobolev空间 $V^mX(\Omega, \nu)$ 到重新排列不变目标空间 $Y(\Omega, \nu)$ 的紧嵌入的一般准则。
• 将此类嵌入的紧致性与配备概率测度 $\nu$ 的基域 $\Omega$ 的等周性质联系起来。
• 在具体几何设定（如John域和乘积概率空间，例如高斯空间）中，提供紧嵌入的精确显式条件。
• 通过分析相关的单变量积分算子 $H^m_I$，将先前关于连续嵌入的结果推广到紧致情形。
• 通过定义在单位区间上的特定积分算子的有界性和紧致性，刻画嵌入的紧致性。

提出的方法

• 使用等周函数 $I_{\Omega,\nu}$ 编码域 $\Omega$ 相对于 $\nu$ 的几何与测度性质。
• 定义作用于 $(0,1)$ 上重排函数的一维积分算子 $H^m_I$，其表达式为： $$ H^m_I f(t) = \frac{1}{(m-1)!} \int_t^1 \frac{|f(s)|}{I(s)} \left( \int_t^s \frac{dr}{I(r)} \right)^{m-1} ds, \quad t \in (0,1), $$ 该算子模拟Sobolev嵌入的作用。
• 将 $m$ 阶Sobolev嵌入的紧致性归约为算子 $H^m_I$ 从 $X(0,1)$ 到 $Y(0,1)$ 的紧致性。
• 应用Lorentz空间和Orlicz空间的已知理论，通过其表示范数刻画空间 $X$ 和 $Y$。
• 利用对偶性和外推技术，包括使用对偶空间 $(L^p_{q_1;\alpha_1})^*$ 以及使用函数 $\Phi$ 定义广义Lorentz空间。
• 利用Lorentz和Orlicz空间上积分算子有界性和紧致性的已知结果，推导出紧嵌入的精确条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种重新排列不变空间 $X$ 和 $Y$ 的条件下，嵌入 $V^mX(\Omega, \nu) \hookrightarrow Y(\Omega, \nu)$ 是紧致的？
• RQ2 如何利用域的等周函数 $I_{\Omega,\nu}$ 刻画高阶Sobolev嵌入的紧致性？
• RQ3 在具体几何设定（如John域和高斯空间）中，紧嵌入的精确条件是什么？
• RQ4 等周函数 $I_{\Omega,\nu}$ 在零附近的性质如何影响嵌入的紧致性？
• RQ5 能否将嵌入的紧致性归约为一维积分算子 $H^m_I$ 的紧致性？

主要发现

• 当且仅当算子 $H^m_I$ 从 $X(0,1)$ 紧致映射到 $Y(0,1)$ 时，嵌入 $V^mX(\Omega, \nu) \hookrightarrow Y(\Omega, \nu)$ 是紧致的，其中 $I$ 是 $I_{\Omega,\nu}$ 在零附近的下界。
• 对于Lorentz空间 $L^{p_1,q_1}(0,1)$ 和 $L^{p_2,q_2}(0,1)$，当 $p_1 < \frac{1}{m(1 - \alpha)}$ 时，嵌入是紧致的当且仅当 $p_2 < \frac{p_1}{1 - m p_1 (1 - \alpha)}$；当 $p_1 = \frac{1}{m(1 - \alpha)}$ 时，嵌入是紧致的当且仅当 $p_2 < \infty$。
• 当 $\alpha = 1$ 时，嵌入 $H^m_s: L^{p_1,q_1}(0,1) \to L^{p_2,q_2}(0,1)$ 是紧致的当且仅当 $p_2 < p_1$。
• 对于高斯空间和由 $\Phi(t) = \frac{1}{\beta} t^\beta$ 定义的Orlicz空间，嵌入是紧致的当且仅当 $q < p$（当 $p < \infty$ 时），且当 $p = \infty$ 时 $q < \infty$。
• 当 $\lim_{s \to \infty} \frac{s}{\Phi(s)} = 0$ 时，嵌入 $H^m_\Phi: L^p(0,1) \to L^q(0,1)$ 是紧致的当且仅当 $q < p$。
• 在John域和高斯空间等标准域的重新排列不变空间类中，该结果是精确的，因为嵌入条件与 $H^m_I$ 的紧致性等价。