[论文解读] Comparing Three Notions of Discrete Ricci Curvature on Biological Networks

Maryam Pouryahya, James C. Mathews+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 2被引用 19

一句话总结

本文在生物网络与癌症网络上对比了三种离散里奇曲率概念——Ollivier、Bakry-Émery 与 Forman，结果显示三种方法结果一致。本文引入了带符号控制里奇曲率以建模转录网络中的有向、带符号相互作用，表明更高的曲率与网络鲁棒性及功能稳定性相关。

ABSTRACT

In the present work, we study the properties of biological networks by applying analogous notions of fundamental concepts in Riemannian geometry and optimal mass transport to discrete networks described by weighted graphs. Specifically, we employ possible generalizations of the notion of Ricci curvature on Riemannian manifold to discrete spaces in order to infer certain robustness properties of the networks of interest. We compare three possible discrete notions of Ricci curvature (Olivier Ricci curvature, Bakry-Émery Ricci curvature, and Forman Ricci curvature) on some model and biological networks. While the exact relationship of each of the three definitions of curvature to one another is still not known, they do yield similar results on our biological networks of interest. These notions are initially defined on positively weighted graphs; however, Forman-Ricci curvature can also be defined on directed positively weighted networks. We will generalize this notion of directed Forman Ricci curvature on the network to a form that also considers the signs of the directions (e. g., activator and repressor in transcription networks). We call this notion the \emph{signed-control Ricci curvature}. Given real biological networks are almost always directed and possess positive and negative controls, the notion of signed-control curvature can elucidate the network-based study of these complex networks. Finally, we compare the results of these notions of Ricci curvature on networks to some known network measures, namely, betweenness centrality and clustering coefficients on graphs.

研究动机与目标

• 评估并对比三种不同的离散里奇曲率定义——Ollivier、Bakry-Émery 与 Forman——在加权有向生物网络上的表现。
• 研究里奇曲率与传统网络度量（如介数中心性与聚类系数）之间的关系。
• 通过引入带符号控制里奇曲率的概念，将 Forman 里奇曲率推广至有向、带符号网络，以建模转录网络中的激活与抑制作用。
• 评估里奇曲率是否可作为网络功能稳定性的稳健指标，尤其在区分癌症网络与正常网络方面。
• 探讨里奇曲率作为几何度量的潜力，通过最优质量传输理论与熵及系统鲁棒性建立关联。

提出的方法

• 使用基于概率测度上 Wasserstein 2-距离的 Ollivier 里奇曲率，借助最优传输理论进行曲率估计。
• 通过图上马尔可夫过程的 Γ₂-微积分实现 Bakry-Émery 里奇曲率，利用 Bochner 公式将曲率与拉普拉斯算子特征值关联。
• 在 1-维胞腔复形（图）上使用 Forman 里奇曲率，基于拉普拉斯算子的 Bochner-Weitzenböck 分解定义基于边的曲率。
• 通过在曲率计算中引入边的方向与符号（激活子/抑制子），将 Forman 里奇曲率推广至有向、带符号网络，提出带符号控制里奇曲率。
• 计算每个节点的标量曲率，并在模型网络与真实生物网络（包括无标度网络与乳腺癌网络）上对比三种曲率定义的结果。
• 使用皮尔逊相关系数评估曲率值与介数中心性及局部聚类系数之间的相关性，以评估结构可解释性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在生物网络与癌症网络中，三种离散里奇曲率概念——Ollivier、Bakry-Émery 与 Forman——在数值与分布上如何比较？
• RQ2 里奇曲率与经典网络度量（如介数中心性与聚类系数）之间存在何种关系？
• RQ3 带符号控制里奇曲率能否有效捕捉转录网络中调控相互作用的方向性与符号特性？
• RQ4 癌症网络是否系统性地表现出高于正常网络的平均里奇曲率，表明更高的鲁棒性？
• RQ5 尽管数学基础不同，三种曲率定义在多大程度上能提供一致的拓扑洞察？

主要发现

• 三种离散里奇曲率定义——Ollivier、Bakry-Émery 与 Forman——在所有网络中与介数中心性及聚类系数的相关性模式高度相似，表明其提供了一致的拓扑洞察。
• 里奇曲率与介数中心性的皮尔逊相关系数（R）在所有三种曲率方法中相似，表明曲率作为类中心性度量具有稳健性。
• 里奇曲率与聚类系数之间的相关性在不同网络中微弱且不一致，表明曲率与聚类度量的是网络的不同属性。
• 在所有三种曲率定义下，癌症网络始终表现出高于其正常对应网络的平均里奇曲率，支持了更高曲率与功能鲁棒性相关的假设。
• 所提出的带符号控制里奇曲率成功将 Forman 曲率推广至有向、带符号网络，实现了对转录调控中激活与抑制作用的建模。
• 结果支持将里奇曲率用作与熵及系统鲁棒性相关的几何度量，具有通过曲率排序识别关键节点（如癌症靶点）的潜力。