[论文解读] Comparison Geometry for the Bakry-Emery Ricci Tensor

Guofang Wei, William Wylie|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用 18

一句话总结

本文在势函数 $f$ 满足有界性或径向导数受控等条件下，建立了 Bakry-Emery Ricci 曲率下有界的光滑度量测度空间的平均曲率与体积比较定理。该工作将经典 Ricci 曲率结果（如 Myers 定理、Bishop-Gromov 体积比较、分裂定理）推广至 Bakry-Emery 设置，当 $f$ 有界或 $\partial_r f$ 有下界时，证明了这些界是实现此类推广的必要条件。

ABSTRACT

For Riemannian manifolds with a measure $(M,g, e^{-f} dvol_g)$ we prove mean curvature and volume comparison results when the $\infty$-Bakry-Emery Ricci tensor is bounded from below and $f$ is bounded or $\partial_r f$ is bounded from below, generalizing the classical ones (i.e. when $f$ is constant). This leads to extensions of many theorems for Ricci curvature bounded below to the Bakry-Emery Ricci tensor. In particular, we give extensions of all of the major comparison theorems when $f$ is bounded. Simple examples show the bound on $f$ is necessary for these results.

研究动机与目标

• 将经典比较定理（如 Myers 定理、Bishop-Gromov 体积比较、Cheeger-Gromoll 分裂定理）从 Ricci 曲率推广至 Bakry-Emery Ricci 张量。
• 识别使这些定理可推广的势函数 $f$ 的最小条件，特别是当 $f$ 有界或 $\partial_r f$ 有下界时。
• 通过反例证明 $f$ 的有界性对于多项式 $f$-体积增长及相关定理是必要的。
• 为 $f$-Laplacian 和加权测度 $e^{-f}d\mathrm{vol}_g$ 开发新的平均曲率与体积比较估计。

提出的方法

• 通过 $f$-Laplacian $\Delta_f = \Delta - \nabla f \cdot \nabla$ 推导广义平均曲率比较，其中 $m_f = m - \partial_r f$ 为 $f$-平均曲率。
• 利用涉及 $m_f'$ 与 $m_H'$ 的微分不等式，将 $f$-平均曲率与具有曲率 $H$ 的模型空间 $M_H^{n+4k}$ 的平均曲率进行比较。
• 应用积分因子与 Gronwall 型估计来控制差值 $\psi = (m_f - m_H)_+$，尤其在 $|f| \leq k$ 条件下。
• 通过积分平均曲率界建立体积比较，导出当 $|f| \leq k$ 时有 $\mathrm{Vol}_f(B(p,R))/\mathrm{Vol}_f(B(p,r)) \leq \mathrm{Vol}^{n+4k}_H(R)/\mathrm{Vol}^{n+4k}_H(r)$。
• 分析径向截面曲率与刚性条件，以刻画比较定理中等号成立的情形。
• 使用具有常曲率 $H$ 的模型空间 $M_H^n$，并定义 $\mathrm{sn}_H(r)$ 为满足 $\mathrm{sn}_H'' + H\mathrm{sn}_H = 0$，$\mathrm{sn}_H(0)=0$，$\mathrm{sn}_H'(0)=1$ 的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $f$ 的条件下，经典 Ricci 曲率比较定理可推广至 Bakry-Emery Ricci 张量？
• RQ2 当 $\mathrm{Ric}_f \geq 0$ 且 $f$ 有界时，$f$-体积的体积增长定理是否可推广？
• RQ3 $f$-有界性或 $\partial_r f$ 有界性是否对 $f$-体积增长估计与分裂定理是必要的？
• RQ4 平均曲率比较 $m_f = m - \partial_r f$ 如何依赖于 $f$ 沿测地线的行为？
• RQ5 当 $|f| \leq k$ 且 $\mathrm{Ric}_f \geq (n-1)H$ 时，$m_f - m_H$ 的紧致界为何？

主要发现

• 当 $\partial_r f \geq -a$ 时，$f$-平均曲率满足 $m_f(r) - m_H(r) \leq a$，等号成立当且仅当径向截面曲率为 $H$ 且 $f(t) = f(p) - at$。
• 若 $|f| \leq k$，则 $m_f(r) \leq m_H^{n+4k}(r)$，特别地当 $H=0$ 时有 $m_f(r) \leq \frac{n+4k-1}{r}$，表明存在多项式 $f$-体积增长。
• 对于 $\mathrm{Ric}_f \geq (n-1)H$，当 $\partial_r f \geq -a$ 时，$f$-体积比满足 $\frac{\mathrm{Vol}_f(B(p,R))}{\mathrm{Vol}_f(B(p,r))} \leq e^{aR} \frac{\mathrm{Vol}_H^n(R)}{\mathrm{Vol}_H^n(r)}$，等号成立当且仅当曲率为常数 $H$ 且 $\partial_r f \equiv a$。
• 当 $|f| \leq k$ 时，体积比被限制为 $\frac{\mathrm{Vol}_H^{n+4k}(R)}{\mathrm{Vol}_H^{n+4k}(r)}$，意味着 $f$-体积增长度数至多为 $n+4k$。
• 当 $H=0$ 且 $|f| \leq k$ 时，有不等式 $m_f(r) - \frac{n-1}{r} \leq 4(n-1)e^{4k/(n-1)} \frac{1}{r}$ 成立，量化了与欧氏行为的偏离程度。
• 反例表明 $f$-有界性是必要的：若无此条件，$f$-体积增长可超过多项式次数，且分裂定理不成立。