[论文解读] Comparison of spectral radii and Collatz-Wielandt numbers for homogeneous maps, and other applications of the monotone companion norm on ordered normed vector spaces

Horst R. Thieme|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文在有序赋范向量空间中引入并分析了单调伴生半范数 $\psi(x) = d(x, -X_+)$，用于比较齐次、保序映射的谱半径与 Collatz-Wielandt 数。该研究在不假设锥正规性的前提下，建立了抽象积分不等式的比较原理，证明了非线性正映射的点耗散性条件，并通过加权范数推导出锥谱半径的界，将 Kreín-Rutman 理论扩展至非线性情形。

ABSTRACT

It is well known that an ordered normed vector space $X$ with normal cone $X_+$ has an order-preserving norm that is equivalent to the original norm. Such an equivalent order-preserving norm is given by \begin{equation} \sharp x \sharp = \max \{ d(x, X_+), d(x, - X_+)\}, \qquad x \in X. \end{equation} This paper explores the properties of this norm and of the half-norm $ψ(x) = d(x,-X_+)$ independently of whether or not the cone is normal. We use $ψ$ to derive comparison principles for the solutions of abstract integral equations, derive conditions for point-dissipativity of nonlinear positive maps, compare Collatz-Wielandt numbers, bounds, and order spectral radii for bounded homogeneous maps and give conditions for a local upper Collatz-Wielandt radius to have a lower positive eigenvector.

研究动机与目标

• 独立于锥正规性，发展并分析单调伴生半范数 $\psi(x) = d(x, -X_+)$。
• 在不假设锥正规性的前提下，建立抽象积分不等式解的比较定理。
• 推导有序 Banach 空间中非线性正映射点耗散性的充分条件。
• 比较有界齐次映射的锥谱半径、序谱半径与 Collatz-Wielandt 数。
• 给出局部上界 Collatz-Wielandt 半径对应正特征向量的条件。

提出的方法

• 引入有序赋范向量空间中的单调伴生半范数 $\psi(x) = d(x, -X_+)$ 及其相关范数 $\sharp x\sharp = \max\{\psi(x), \psi(-x)\}$。
• 利用 $\psi$ 推导积分不等式 $u(t) \geq \int_0^t K(t,s)u(s)ds$ 解的比较原理，无需锥正规性假设。
• 应用该半范数证明在谱半径小于 1 的条件下，非线性映射 $F: X_+ \to X_+$ 的点耗散性。
• 采用加权范数 $\|B\|_w = \sup_{\|x\|_w=1} \|B(x)\|_w$ 来界定锥谱半径 $\mathbf{r}_+(B)$，尤其适用于 $\ell^p$ 或 $c_0$ 空间上的映射。
• 通过将非线性映射约化为线性控制算子并利用谱半径估计，将 Kreín-Rutman 定理框架应用于非线性映射。
• 通过序列如 $e^m$ 和 $x^m$ 测试界 positivity，推导 $\mathbf{r}_+(B) > 0$ 的充分条件，基于 $cw(B)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设锥正规性的前提下，抽象积分不等式 $u(t) \geq \int_0^t K(t,s)u(s)ds$ 的解何时保持正性？
• RQ2 如何利用单调伴生半范数 $\psi(x)$ 比较齐次、保序映射的谱半径与 Collatz-Wielandt 数？
• RQ3 在有序 Banach 空间中，非线性正映射 $F: X_+ \to X_+$ 的点耗散性需满足何种条件？
• RQ4 何时局部上界 Collatz-Wielandt 半径对应于一个正特征向量？
• RQ5 如何利用加权范数 $\|B\|_w$ 估计无穷维映射的锥谱半径 $\mathbf{r}_+(B)$？

主要发现

• 定理 1.2 表明，在任意有序 Banach 空间中，积分不等式 $u(t) \geq \int_0^t K(t,s)u(s)ds$ 的解 $u(t)$ 在所有 $t \in [0,b]$ 上保持正性，即使不假设锥正规性。
• 定理 1.3 证明：若映射 $F$ 满足谱半径小于 1 的线性控制条件，则 $F$ 是点耗散的，并且有界集存在紧致全局吸引子。
• 对于 $\ell^\infty$ 上的齐次映射 $B$，锥谱半径满足 $\mathbf{r}_+(B) \leq \max\left\{q_1 + \sum_{j,k} \beta_{jk}, \sup_{m \geq 2} \max\{p_{m-1}, q_m\} \right\}$，在 $\ell^1$ 和 $c_0$ 中有类似界。
• 若 $\max\{p_{m-1}, q_m\} \leq c\theta^m$ 对 $\theta \in (0,1)$ 成立，则 $\mathbf{r}_+(B) \leq \|B\|_w = \max\left\{q_1 + \sum \beta_{jk}\theta^{j+k-1}, \sup_{m \geq 2} \max\{p_{m-1}/\theta, q_m\} \right\}$。
• 必要且充分条件为：$q_1 + \beta_{11} > 0$ 或存在 $j,k$ 使得 $\beta_{jk} > 0$ 且对所有 $i < \max\{j,k\}$ 有 $p_i > 0$。
• 若 $\max\{p_{m-1}, q_m\} \leq m^{-\alpha}$ 对 $\alpha > 1$ 成立，则 $\mathbf{r}_+(B) \leq \|B\|_w = \max\left\{q_1 + \sum \beta_{jk} j^{-\alpha}k^{-\alpha}, \sup_{m \geq 2} \max\{p_{m-1}(m/(m-1))^\alpha, q_m\} \right\}$，且该界在 $\alpha \to 1^+$ 极限下仍成立。