[论文解读] Comparison of Steklov eigenvalues on a domain and Laplacian eigenvalues on its boundary in Riemannian manifolds

Changwei Xiong|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 11被引用 5

一句话总结

该论文在黎曼流形中，于曲率与第二基本形式约束下，建立了区域上的斯泰克洛夫特征值与边界上拉普拉斯特征值平方根之间的定量界限。通过使用庞扎列夫型恒等式与极小极大变分原理，证明了在截面曲率为非正且边界为全测地（horo-convex）时，$|\sigma_j - \sqrt{\lambda_j}| \leq \max\{n/2, 1\} \kappa_+$，并在正曲率情况下得到类似界限，从而导出斯泰克洛夫特征值的威耳（Weyl）型上界。

ABSTRACT

We prove that in Riemannian manifolds the $k$-th Steklov eigenvalue on a domain and the square root of the $k$-th Laplacian eigenvalue on its boundary can be mutually controlled in terms of the maximum principal curvature of the boundary under sectional curvature conditions. As an application, we derive a Weyl-type upper bound for Steklov eigenvalues. A Pohozaev-type identity for harmonic functions on the domain and the min-max variational characterization of both eigenvalues are important ingredients.

研究动机与目标

• 建立黎曼流形中区域上的斯泰克洛夫特征值与边界上拉普拉斯特征值平方根之间的相互控制关系。
• 将欧氏空间中先前的结果推广到具有曲率与第二基本形式约束的一般黎曼流形。
• 利用曲率与边界几何结构推导斯泰克洛夫特征值的威耳型上界。
• 将渐近比较 $\sigma_j \sim \sqrt{\lambda_j}$ 推广至具有显式误差控制的曲面流形。

提出的方法

• 通过在 $\Omega$ 上对 $\Delta u \cdot \langle F, \nabla u \rangle = 0$ 积分，为定义在区域上的调和函数推导出一种庞扎列夫型恒等式，其中使用了在边界附近有紧支集的利普希茨向量场 $F$。
• 构造一个与边界几何相适应的向量场 $F$，以关联边界上的积分 $\int_\Sigma (\partial u / \partial \nu)^2 d\sigma$ 与 $\int_\Sigma |\nabla_\Sigma u|^2 d\sigma$。
• 应用斯泰克洛夫与拉普拉斯特征值的极小极大变分刻画，比较边界上的瑞利商。
• 利用高斯公式将边界的里奇曲率与环境的截面曲率及第二基本形式联系起来。
• 施加曲率条件：$-a \leq K_M \leq 0$ 且 $II \geq \sqrt{a}$，以及 $0 < K_M \leq a$ 且 $II \leq \kappa_+$，以控制特征值间隙。
• 应用紧致流形上里奇曲率有下界时拉普拉斯特征值的威耳型估计，推导出斯泰克洛夫特征值的渐近界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在曲率约束下，黎曼流形中区域上的斯泰克洛夫特征值能否以边界上拉普拉斯特征值的形式进行有界控制？
• RQ2 边界的第二基本形式如何影响 $\sigma_j$ 与 $\sqrt{\lambda_j}$ 之间的谱间隙？
• RQ3 在一般黎曼流形中，特征值间隙 $|\sigma_j - \sqrt{\lambda_j}|$ 对曲率与边界几何的最优依赖关系是什么？
• RQ4 能否从曲率与边界几何结构推导出斯泰克洛夫特征值的威耳型渐近上界？
• RQ5 欧氏空间中的结果如何推广至双曲与球面几何？

主要发现

• 在 $-a \leq K_M \leq 0$ 且 $II \geq \sqrt{a}$ 条件下，对所有 $j \in \mathbb{N}$，有不等式 $\lambda_j \leq \sigma_j^2 + n\kappa_+\sigma_j$ 成立，其中 $\kappa_+$ 为第二基本形式的上界。
• 在 $0 < K_M \leq a$ 且 $II \leq \kappa_+$ 条件下，建立了不等式 $\lambda_j \leq \sigma_j^2 + n\sqrt{a + \kappa_+^2}\sigma_j$。
• 在非正曲率情况下，谱间隙满足 $|\sigma_j - \sqrt{\lambda_j}| \leq \max\{n/2, 1\}\kappa_+$。
• 在正曲率情况下，$|\sigma_j - \sqrt{\lambda_j}| \leq \max\{n/2, 1\}\sqrt{a + \kappa_+^2}$。
• 导出了斯泰克洛夫特征值的威耳型上界：在非正曲率与全测地边界条件下，有 $\sigma_j \leq \kappa_+ + C_n \left(\frac{j}{|\Sigma|}\right)^{1/n}$。
• 渐近界中的幂次 $1/n$ 是最优的，与已知的威耳渐近公式 $\sigma_j \sim 2\pi \left(\frac{j}{\omega_n |\Sigma|}\right)^{1/n}$ 一致。