[论文解读] Comparison of The Speed of Convergence Among Various Iterative Schemes

Vatan Karakaya, Faik Gürsoy+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2014

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文比较了在巴拿赫空间中逼近压缩映射不动点的迭代格式的收敛速度。证明了CR迭代格式对于压缩映射的收敛速度优于Karahan-Ozdemir三步格式，并建立了在映射扰动下不动点的数据依赖性结果。

ABSTRACT

We show that iterative scheme due to Karahan and Özdemir (2013) can be used to approximate fixed point of contraction mappings. Furthermore, we prove that CR iterative scheme converges faster than the iterative scheme due to Karahan and Özdemir (2013) for the class contraction mappings. Finally, we prove a data dependence result for contraction mappings by employing iterative scheme due to Karahan and Özdemir (2013).

研究动机与目标

• 分析Karahan-Ozdemir三步迭代格式对压缩映射的收敛行为。
• 比较CR迭代格式与Karahan-Ozdemir格式在压缩映射下的收敛速率。
• 在映射扰动下，利用Karahan-Ozdemir迭代格式建立不动点的数据依赖性结果。
• 提供理论证据表明CR迭代在巴拿赫空间中不动点逼近方面更快且更稳定。

提出的方法

• Karahan-Ozdemir迭代格式通过三个递归步骤定义，涉及[0,1]区间内的三个参数α₁ⁿ, α₂ⁿ, α₃ⁿ，并应用于巴拿赫空间子集S上的自映射T。
• CR迭代格式通过类似的参数约束，采用三步递归结构进行分析，其中中间点通过T像与当前迭代值的凸组合进行更新。
• 利用压缩条件||Tx - Ty|| ≤ δ||x - y||（δ ∈ (0,1)）进行收敛性分析，确保收敛到唯一不动点。
• 通过渐近等价性和误差界比较收敛速度，表明CR迭代比Karahan-Ozdemir格式收敛更快。
• 通过引入满足||T̃x - Tx|| ≤ ε的扰动映射T̃，研究数据依赖性，并推导出T与T̃的不动点之间距离的界。
• 利用三角不等式和压缩性质推导不等式，得到在扰动下不动点误差的界||x* - u*|| ≤ 5ε/(1 - δ)。

实验结果

研究问题

• RQ1 Karahan-Ozdemir三步迭代格式是否收敛到压缩映射的不动点？
• RQ2 CR迭代格式与Karahan-Ozdemir格式在压缩映射下的收敛速度如何比较？
• RQ3 在使用Karahan-Ozdemir格式时，映射扰动下不动点的行为如何？
• RQ4 CR迭代格式能否被证明在收敛速率上与Karahan-Ozdemir格式等价且更快？
• RQ5 当映射被扰动ε时，不动点误差的定量界是什么？

主要发现

• Karahan-Ozdemir三步迭代格式收敛到满足||Tx - Ty|| ≤ δ||x - y||（δ ∈ (0,1)）的压缩映射T的唯一不动点。
• 对于所有压缩映射，CR迭代格式的收敛速度均快于Karahan-Ozdemir格式，通过误差序列的渐近比较得以证明。
• CR格式被证明与Karahan-Ozdemir格式渐近等价，但收敛速率严格更快。
• 在扰动||T̃x - Tx|| ≤ ε下，扰动映射T̃的不动点满足||x* - u*|| ≤ 5ε/(1 - δ)，建立了数据依赖性结果。
• 在扰动下，Karahan-Ozdemir格式的收敛界推导为||pₙ - p̃ₙ|| ≤ [1 - αₙ¹(1 - δ)]||pₙ₋₁ - p̃ₙ₋₁|| + αₙ¹(1 - δ)(5ε)/(1 - δ)，最终得到误差界。
• 分析确认不动点误差被统一有界于5ε/(1 - δ)，该界与迭代索引无关，仅依赖于ε和δ。