[论文解读] Comparison of Wiener index and Zagreb eccentricity indices

Kexiang Xu, Kinkar Chandra Das+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2019

Graph theory and applications参考文献 29被引用 10

一句话总结

本文比较了各类图类中的 Wiener 指数（W）、第一 Zagreb 离心率指数（E₁）和第二 Zagreb 离心率指数（E₂），包括树、直径为 2 的图、普遍直径图以及笛卡尔积图。研究发现，对于直径较小的树，W ≥ E₂ 成立，而对于直径较大的树，W < E₁ 成立；在笛卡尔积图中，在平均传输和直径满足特定条件下，W > E₁ 且 W > E₂。

ABSTRACT

The first and the second Zagreb eccentricity index of a graph $G$ are defined as $E_1(G)=\sum_{v\in V(G)}\varepsilon_{G}(v)^{2}$ and $E_2(G)=\sum_{uv\in E(G)}\varepsilon_{G}(u)\varepsilon_{G}(v)$, respectively, where $\varepsilon_G(v)$ is the eccentricity of a vertex $v$. In this paper the invariants $E_1$, $E_2$, and the Wiener index are compared on graphs with diameter $2$, on trees, on a newly introduced class of universally diametrical graphs, and on Cartesian product graphs. In particular, if the diameter of a tree $T$ is not too big, then $W(T) \ge E_2(T)$ holds, and if the diameter of $T$ is large, then $W(T) &lt; E_1(T)$ holds.

研究动机与目标

• 在不同图类之间比较 Wiener 指数（W）、第一 Zagreb 离心率指数（E₁）和第二 Zagreb 离心率指数（E₂）。
• 确定 W ≥ E₁ 或 W ≥ E₂ 成立的条件，特别是在不同直径的树中。
• 引入并分析一种新图类——普遍直径图，其所有顶点均达到直径。
• 研究 Wiener 指数、E₁ 和 E₂ 在图的笛卡尔积运算下的行为。
• 建立笛卡尔积图中 W > E₁ 和 W > E₂ 的充分条件。

提出的方法

• 定义 E₁(G) = Σᵥ∈V(G) ε_G(v)² 和 E₂(G) = Σ_{uv∈E(G)} ε_G(u)ε_G(v)，其中 ε_G(v) 是顶点 v 的离心率。
• 使用 Wiener 指数 W(G) = ½ Σᵥ∈V(G) Tr_G(v)，其中 Tr_G(v) 是 v 的传输值。
• 分析直径为 2 的图，证明对于自中心图，E₂(G) ≥ E₁(G)，且等式成立当且仅当 G ∈ {C₄, C₅}。
• 将普遍直径图定义为所有顶点均达到直径的图。
• 应用结构变换（如在顶点上附加路径）将基础图的结果推广到更大的图族。
• 使用笛卡尔积中 Wiener 指数和离心率指数的已知公式：W(G□H) = n(H)²W(G) + n(G)²W(H)，以及 E₁(G□H) = n(H)E₁(G) + n(G)E₁(H) + 2ε(G)ε(H)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，树中的 Wiener 指数会超过第一 Zagreb 离心率指数？
• RQ2 在直径为 2 的图中，Wiener 指数与 Zagreb 离心率指数如何比较？
• RQ3 图的哪些结构特性可保证 W(G) ≥ E₁(G) 或 W(G) ≥ E₂(G)？
• RQ4 不等式 W ≥ E₁ 或 W ≥ E₂ 是否在笛卡尔积运算下保持不变？
• RQ5 平均传输在决定乘积图中 Wiener 指数对离心率指数的主导性方面起什么作用？

主要发现

• 对于小直径的树，Wiener 指数满足 W(T) ≥ E₂(T)，而对于大直径的树，W(T) < E₁(T)。
• 在直径为 2 的自中心图中，E₂(G) ≥ E₁(G)，且等式成立当且仅当 G 为 C₄ 或 C₅。
• 对于普遍直径图，若在基图中成立 W(G) < E₁(G)，则在所有顶点上附加路径后，该不等式仍保持成立。
• 若 G 和 H 是连通图，且满足 W(G) ≥ E₁(G)，W(H) ≥ E₁(H)，且 max{n(G), n(H)} > 2，则 W(G□H) > E₁(G□H)。
• 在条件 avt(G) > 4d_G²d_H 且 avt(H) > 4d_H²d_G 下，有 W(G□H) > E₂(G□H)。
• 结果表明，Wiener 指数对 E₁ 或 E₂ 的主导性取决于图的直径和结构特性，且在树中存在明确的临界点。