[论文解读] Compatible Dubrovin-Novikov Hamiltonian operators, Lie derivative and integrable systems of hydrodynamic type

O. I. Mokhov|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2002

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文证明，一个具有流体动力学类型的局部哈密顿算符与一个非退化的此类算符相容，当且仅当它是第二个算符沿某一向量场的李导数。这提供了一个相容性的不变判据，并定义了一类弗罗贝尼乌斯–杜勃林-曼德尔布罗特流形，从而导出可通过反散射法求解的可积双哈密顿层级。

ABSTRACT

We prove that a local Hamiltonian operator of hydrodynamic type K_1 is compatible with a nondegenerate local Hamiltonian operator of hydrodynamic type K_2 if and only if the operator K_1 is locally the Lie derivative of the operator K_2 along a vector field in the corresponding domain of local coordinates. This result gives a natural invariant definition of the class of special flat manifolds corresponding to all the class of compatible Dubrovin--Novikov Hamiltonian operators (the Frobenius--Dubrovin manifolds naturally belong to this class). There is an integrable bi-Hamiltonian hierarchy corresponding to every flat manifold of this class. The integrable systems are also studied in the present paper. This class of integrable systems is explicitly given by solutions of the nonlinear system of equations, which is integrated by the method of inverse scattering problem.

研究动机与目标

• 建立杜勃林-诺维科夫哈密顿算符之间相容性的通用不变判据。
• 表征与相容的杜勃林-诺维科夫算符相关联的平坦流形类，包括弗罗贝尼乌斯–杜勃林-曼德尔布罗特流形。
• 利用李导数结构构建具有流体动力学类型的可积双哈密顿层级。
• 为通过哈密顿算符相容性理解可积系统提供几何与不变的框架。

提出的方法

• 使用李导数 $ L_X K $ 定义哈密顿算符 $ K_1 $ 与 $ K_2 $ 之间的相容性，其中 $ K_1 = L_X K_2 $。
• 应用杜勃林–诺维科夫定理，表明具有流体动力学类型的非退化哈密顿算符在平坦坐标下是局部常数的。
• 从相容对 $ (P_1, P_2) $ 构造递推算符 $ R = P_1 P_2^{-1} $，生成可积层级。
• 推导层级 $ v^i_{t_n} = R^n v^j_x $，其中 $ R $ 通过李导数结构与平坦度量 $ \eta^{ij} $ 定义。
• 通过作者先前的工作中展示的反散射法显式积分该系统。
• 通过势向量场 $ h^i = \eta^{ij} \partial \Phi / \partial v^j $ 将系统约化为二维拓扑场论的结合性方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时一个具有流体动力学类型的局部哈密顿算符与一个非退化的此类算符相容？
• RQ2 何种几何条件可确保一个哈密顿算符是另一个沿某一向量场的李导数？
• RQ3 如何利用相容的杜勃林–诺维科夫算符生成可积的双哈密顿层级？
• RQ4 平坦坐标与常数度量在表征相容算符时起什么作用？
• RQ5 由相容对导出的递推算符如何生成可通过反散射法求解的可积系统？

主要发现

• 一个局部哈密顿算符 $ K_1 $ 与一个非退化的 $ K_2 $ 相容，当且仅当存在某个向量场 $ X $ 使得 $ K_1 = L_X K_2 $，这提供了完整的不变判据。
• 相容的杜勃林–诺维科夫算符类对应于一类特殊的平坦流形，包括弗罗贝尼乌斯–杜勃林-曼德尔布罗特流形。
• 此类相容对生成的可积系统显式地由通过反散射法积分的非线性系统解给出。
• 递推算符 $ R = P_1 P_2^{-1} $ 生成层级 $ v^i_{t_n} = R^n v^j_x $，该层级包含具有流体动力学类型的双哈密顿系统。
• 系统 $ v^i_{t_1} = R v^j_x $ 关于标准算符 $ P_1 $ 与 $ P_2 $ 是双哈密顿的，且可通过反散射法求解。
• 当 $ h^i $ 由势 $ \Phi $ 导出时，二维拓扑场论的结合性方程自然成为该系统的约化。