[论文解读] Complementarity and additivity for depolarizing channels

Nilanjana Datta, A. S. Holevo|ArXiv.org|Oct 18, 2005

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 10被引用 7

一句话总结

该论文使用基于Stinespring扩张和对偶性的系统方法，计算了退极化通道和转置退极化通道的互补通道，实现了最小Kraus表示。研究证明，通道与其互补通道的张量积满足输出纯度可加性，并在维度d=3时，对p > 4.79表现出p-范数乘性关系的破坏，暗示最小输出熵的非可加性。

ABSTRACT

In this paper we use the method of a recent paper (quant-ph/0509101) to compute complementary channels for certain important cases, such as depolarizing and transpose-depolarizing channels. This method allows us to easily obtain the minimal Kraus representations from non--minimal ones. We also study the properties of the output purity of the tensor product of a channel and its complement.

研究动机与目标

• 使用适用于CP映射的一般方法，计算退极化通道和转置退极化通道的互补通道。
• 通过所提出的方法，从非最小Kraus表示推导出最小Kraus表示。
• 分析通道与其互补通道张量积的输出纯度。
• 研究这些通道的乘性与可加性猜想的有效性。

提出的方法

• 该方法利用Stinespring扩张和对偶性，通过等距嵌入从给定通道构造互补CP映射。
• 它利用通道与其互补通道之间通过环境部分迹的关系，使用Tr_C(VρV*)表示通道，Tr_B(VρV*)表示互补通道。
• 该方法通过酉等价性和谱分解，将非最小Kraus表示转化为最小Kraus表示。
• 通过使用最大纠缠输入态分析产品通道Φ⊗Φ̃的输出纯度，从而显式计算输出密度矩阵Ω^me。
• 通过构造反对称态|ϕ_{ijk}⟩的正交基，并利用置换算符F12、F23，计算Ω^me的本征值。
• 分析过程通过投影到对称与反对称子空间（使用P1和P2），得到Ω^me = [P1 + 3P2]/[d(d−1)²]的闭式表达。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用适用于CP映射的一般方法，显式计算退极化通道的互补通道？
• RQ2 通道与其互补通道的张量积是否满足最小输出Rényi熵的可加性？
• RQ3 在某些p和d下，产品通道Φ⊗Φ̃是否表现出p-范数乘性关系的破坏？
• RQ4 当最大纠缠态输入到Φ⊗Φ̃时，输出态的结构是什么？
• RQ5 输出态Ω^me的本征值如何依赖于维度d和输入态的选择？

主要发现

• 在d=3时，产品通道Φ⊗Φ̃的输出态Ω^me的本征值为1/3（非简并）、1/12（简并度8）和0（简并度6），与Φ⊗Φ的本征值一致。
• Ω^me的本征值结构导致在维度d=3时，对p > 4.79出现p-范数乘性关系的破坏。
• Φ⊗Φ̃的输出纯度满足最小输出Rényi熵的可加性，因为本征值与可加性条件一致。
• 对于d≥4，最大输出p-范数的p次幂与各通道单独输出范数乘积之比≤1，表明通过最大纠缠输入不出现破坏，尽管其他输入仍可能导致破坏。
• 该方法成功地通过利用酉自由度和等距算子的谱分解，从非最小表示推导出最小Kraus表示。
• 通道Φ⊗Φ̃不具有Φ⊗Φ的翻转对称性，这可能是为何在d≥4时最大纠缠输入未导致破坏，尽管仍可能存在非可加性。