[论文解读] Complete Conjugacy Invariants of Nonlinearizable Holomorphic Dynamics

Kingshook Biswas|ArXiv.org|Mar 13, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文证明，在无理中性不动点处，非线性化全纯芽的共轭类完全由其旋转数和其刺猬的共形类决定——刺猬是极大、不变、连通的紧致集。本文证明，两个此类芽互相交换当且仅当它们共享一个共同的刺猬，并构建了 Diff(ℂ,0) 中非线性化极大交换子群与刺猬芽之间的双射对应，使得刺猬成为完全的共轭不变量。

ABSTRACT

Perez-Marco proved the existence of non-trivial totally invariant connected compacts called hedgehogs near the fixed point of a nonlinearizable germ of holomorphic diffeomorphism. We show that if two nonlinearisable holomorphic germs with a common indifferent fixed point have a common hedgehog then they must commute. This allows us to establish a correspondence between hedgehogs and nonlinearizable maximal abelian subgroups of Diff$(\bf C,0)$. We also show that two nonlinearizable germs are conjugate if and only if their rotation numbers are equal and a hedgehog of one can be mapped conformally onto a hedgehog of the other. Thus the conjugacy class of a nonlinearizable germ is completely determined by its rotation number and the conformal class of its hedgehogs.

研究动机与目标

• 刻画在无理中性不动点处非线性化全纯芽的共轭类。
• 建立此类芽的完整不变量集，超越仅依赖旋转数的情况。
• 阐明刺猬——非线性化、完全不变的紧致集——作为基本动力对象的作用。
• 证明两个非线性化芽互相交换当且仅当它们保持一个共同的刺猬。
• 构建 Diff(ℂ,0) 中非线性化极大交换子群与刺猬芽之间的双射对应。

提出的方法

• 利用 Perez-Marco 关于刺猬的结果——完全不变、连通、紧致、内部为空且具有复拓扑的集合。
• 应用定理 3.1：若一个芽与恒等映射相切且保持一个刺猬，则其必为恒等映射，以此证明交换性。
• 利用保持共同刺猬的芽必互相交换，且反之，互相交换的芽必保持相同的刺猬这一事实。
• 通过非线性化芽的中心化子，构建刺猬芽与极大交换子群之间的对应关系。
• 将刺猬的共形类定义为关键不变量，利用刺猬邻域之间的共形映射。
• 证明两个非线性化芽共轭当且仅当它们具有相同的旋转数且刺猬共形等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些条件能完全确定在中性不动点处非线性化全纯芽的共轭类？
• RQ2 非线性化芽的动力系统能否通过线性化区域以外的不变紧致集进行分类？
• RQ3 是否存在 Diff(ℂ,0) 中非线性化极大交换子群与刺猬芽之间的双射对应？
• RQ4 在何种条件下，两个非线性化芽互相交换？
• RQ5 刺猬的共形几何如何与相关全纯芽的共轭性相关联？

主要发现

• 两个非线性化芽共轭当且仅当它们具有相同的旋转数，且其中一个的刺猬可共形映射到另一个的刺猬。
• 若两个非线性化芽保持一个共同的刺猬，则它们必互相交换，且其交换子为恒等映射。
• 非线性化极大交换子群与刺猬芽之间存在双射对应。
• 任何非线性化芽的中心化子同构于其关联刺猬芽的自同构群。
• 旋转数与刺猬的共形类构成非线性化芽的完整共轭不变量集。
• 该子群与刺猬之间的对应关系在 Diff(ℂ,0) 的元素共轭下保持不变，使得刺猬芽成为完全的共轭不变量。