[论文解读] Completion, closure, and density relative to a monad, with examples in functional analysis and sheaf theory

Rory B. B. Lucyshyn-Wright|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文提出了一种在具有恰当分解系统的丰富范畴中，针对单子的完备化、闭包与稠密性的统一框架。它表明，赋范向量空间的完备化与Lawvere-Tierney拓扑下的层化，均作为普遍构造——单子的幂等核心——的特例出现，为泛函分析与拓扑斯理论中的这些经典概念提供了范畴论基础。

ABSTRACT

Given a monad T on a suitable enriched category B equipped with a proper factorization system (E,M), we define notions of T-completion, T-closure, and T-density. We show that not only the familiar notions of completion, closure, and density in normed vector spaces, but also the notions of sheafification, closure, and density with respect to a Lawvere-Tierney topology, are instances of the given abstract notions. The process of T-completion is equally the enriched idempotent monad associated to T (which we call the idempotent core of T), and we show that it exists as soon as every morphism in B factors as a T-dense morphism followed by a T-closed M-embedding. The latter hypothesis is satisfied as soon as B has certain pullbacks as well as wide intersections of M-embeddings. Hence the resulting theorem on the existence of the idempotent core of an enriched monad entails Fakir's existence result in the non-enriched case, as well as adjoint functor factorization results of Applegate-Tierney and Day.

研究动机与目标

• 将泛函分析与层论中的经典完备化、闭包与稠密性概念，通过单子推广至统一的范畴框架。
• 在丰富范畴中定义并刻画单子的幂等核心，作为普遍完备化过程。
• 证明幂等核心构造可恢复已知构造，如巴拿赫空间完备化与Lawvere-Tierney拓扑下的层化。
• 建立存在幂等核心的充分条件，利用丰富范畴中的分解系统与正交性。
• 将Fakir关于幂等核心存在的经典结果推广至丰富范畴设定，包括在无集合指标极限的情形下。

提出的方法

• 本文使用一个配备恰当$ω$-丰富分解系统$(ω, Σ)$的$ω$-丰富范畴$β$，其中$Σ$-态射称为嵌入。
• 通过与单子$Τ$的正交性，定义$Τ$-稠密态射与$Τ$-闭包嵌入，推广了拓扑与代数设定中的稠密性与闭包。
• 对象$B$的$Τ$-完备化被定义为单位映射$\eta_B: B \to TB$的$(ω, Σ)$-像的$Τ$-闭包。
• 单子$\mathbb{T}$的幂等核心$\widetilde{\mathbb{T}}$被构造为$Τ$-完备化对应的单子，形成$β$的一个反射子范畴。
• 在每个态射均可分解为$Τ$-稠密态射后接$Τ$-闭包嵌入的假设下，建立了$\widetilde{\mathbb{T}}$的存在性；该条件在$\u03b2$具有$Σ$-嵌入的宽交集与适当拉回时成立。
• 该框架被应用于赋范向量空间（通过双对偶化）与具有Lawvere-Tierney拓扑的拓扑斯，恢复了层化与$j$-闭包作为一般构造的特例。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过范畴单子构造，将泛函分析中的完备化、闭包与稠密性与层论中的对应概念统一？
• RQ2 在丰富范畴中，何种条件可确保给定单子的幂等核心单子存在？
• RQ3 在拓扑斯上通过双对偶化单子，以何种方式恢复Lawvere-Tierney拓扑$j$的$j$-层化过程？
• RQ4 丰富范畴中的幂等核心构造如何推广Fakir在普通范畴中关于幂等核心存在的经典结果？
• RQ5 能否将$j$-层化单子的构造推广至无需集合指标极限的初等拓扑斯？

主要发现

• $Τ$-完备化单子$\widetilde{\mathbb{T}}$是$\mathbb{T}$的幂等核心，且它反转的态射与$\mathbb{T}$完全相同，因此它是$\mathbb{T}$的普遍幂等逼近。
• 由$β$中所有$Τ$-完备对象构成的全子范畴是反射的，且$\widetilde{\mathbb{T}}$即为此反射子范畴相关的幂等$ω$-丰富单子。
• 在赋范向量空间范畴中，通过双对偶化单子，$\widetilde{\mathbb{T}}$恢复了通常的巴拿赫空间完备化。
• 对于具有Lawvere-Tierney拓扑$j$的拓扑斯$\u03a3$，与$\Omega_j$的双对偶化相关的$Τ$-完备化单子，恰好等于$j$-层化单子。
• 在双对偶化构造下，一个对象是$Τ$-完备的当且仅当它是$j$-层，且是$Τ$-分离的当且仅当它是$j$-分离的。
• 只要$\u03b2$具有$Σ$-嵌入的宽交集与拉回，丰富范畴中的幂等核心$\widetilde{\mathbb{T}}$即存在，从而将Fakir的结果推广至丰富范畴设定。