[论文解读] Complex Hessian Equation on Kähler Manifold

Zuoliang Hou|ArXiv.org|Dec 24, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过连续性方法和先验 $C^2$ 估计，证明了在具有非负全纯双截面曲率的紧致凯勒流形上，复赫essian方程 $(\omega + \sqrt{-1}\partial\bar{\partial}\varphi)^k \wedge \omega^{n-k} = f\omega^n$ 的光滑解的存在性与唯一性。关键结果是在曲率与正性假设下获得的 $C^2$ 估计，扩展了丘成桐对复蒙日-安培方程的方法。

ABSTRACT

In this paper, complex Hessian equation over Kähler manifold was studied. Under the condition that the underline Kähler manifold has non-negative holomorphic bisectional curvature, the existence and regularity of the solution was proved.

研究动机与目标

• 在具有非负全纯双截面曲率的紧致凯勒流形上，建立复赫essian方程的可解性。
• 将丘成桐对复蒙日-安培方程的方法推广至更一般的复赫essian方程，其中 $2 \leq k \leq n-1$。
• 在曲率与函数正则性假设下，推导先验 $C^2$ 估计，以确保光滑解的存在性。
• 阐明曲率在复赫essian方程可解性中的作用，特别是非负全纯双截面曲率是否为本质几何条件或仅为技术性要求。

提出的方法

• 使用连续性方法证明复赫essian方程在紧致凯勒流形上解的存在性。
• 应用克里洛夫与埃文斯的标准理论，将问题归约为证明先验 $C^2$ 估计。
• 采用由赫essian矩阵 $\partial\bar{\partial}\varphi$ 和函数 $f^{1/k}$ 导出的厄米特度量 $H$，其定义为 $H^{\alpha\bar{\beta}} = \tilde{F}^{\alpha\bar{\beta}}(I_n + (\varphi_{\alpha\bar{\beta}}))$。
• 利用里奇恒等式与 $S_k^{1/k}$ 的凹性，推导拉普拉斯估计 $\tilde{\Delta}(n + \Delta\varphi) \geq \Delta(f^{1/k})$。
• 利用全纯双截面曲率的非负性，确保拉普拉斯估计中曲率项的非负性，从而实现全局有界性。
• 在最大值点处建立 $\operatorname{tr}_\omega H$ 与 $n + \Delta\varphi$ 的有界性，进而实现 $\omega_\varphi$ 相对于 $\omega$ 的特征值的统一控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 复赫essian方程 $(\omega + \sqrt{-1}\partial\bar{\partial}\varphi)^k \wedge \omega^{n-k} = f\omega^n$ 在具有非负全纯双截面曲率的紧致凯勒流形上是否允许光滑解？
• RQ2 全纯双截面曲率的非负性是否为复赫essian方程可解性的本质几何条件，还是仅属技术性要求？
• RQ3 能否采用类似于丘成桐证明卡拉比-丘猜想的方法，建立复赫essian方程的 $C^2$ 先验估计？
• RQ4 $k$-正锥对背景凯勒度量的依赖性如何影响复赫essian方程的可解性与正则性？
• RQ5 在复赫essian方程中，$f$ 的严格正则性在多大程度上可被放宽，同时仍保持可解性与正则性？

主要发现

• 在具有非负全纯双截面曲率且 $f$ 严格正则光滑的紧致凯勒流形上，复赫essian方程存在唯一（模常数）的光滑解。
• $C^0$ 估计已建立，满足 $\|\varphi\|_{C^0} \leq C_q$，其中 $C_q$ 依赖于 $(M,\omega)$、$q > 2n$ 以及 $\|f - 1\|_{L^q}$。
• $C^1$ 估计满足 $\|\nabla\varphi\|_{C^0(\omega)} \leq C_1$，其中 $C_1$ 依赖于 $(M,\omega)$、$\|f^{1/k}\|_{C^1(\omega)}$ 以及 $\operatorname{osc}\varphi$。
• 通过拉普拉斯估计 $\tilde{\Delta}(n + \Delta\varphi) \geq \Delta(f^{1/k})$ 实现了 $C^2$ 估计，进而得到 $\|\partial\bar{\partial}\varphi\|_{C^0(\omega)} \leq C_2$，其中 $C_2$ 依赖于 $\sup f$、$\inf \Delta(f^{1/k})$ 以及 $\operatorname{osc}\varphi$。
• 全纯双截面曲率的非负性对于拉普拉斯估计中曲率项的控制至关重要，因为它确保了曲率展开中里奇型项的非负性。
• 结果表明，$k$-正锥对背景度量的依赖引入了复蒙日-安培情形下所不存在的几何约束，因为在复蒙日-安培情形中，仅需 $\omega_\varphi$ 的正性即可实现控制。