[论文解读] Complex hyperbolic hyperplane complements

Igor Belegradek|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文研究了在移除一个余维数为2的全测地子流形后，复双曲 $n$-流形的拓扑与几何性质。它在补集上构造了一个具有负曲率的完备有限体积度量，证明了基本群是相对双曲的，并满足强刚性与算法性质，包括莫斯特型刚性与 $n > 1$ 时的 Baum-Connes 猜想。

ABSTRACT

We study spaces obtained from a complete finite volume complex hyperbolic n-manifold M by removing a compact totally geodesic complex (n-1)-submanifold. The main result is that the fundamental group of M-S is relatively hyperbolic, relative to fundamental groups of the ends of M-S, and M-S admits a complete finite volume A-regular Riemannian metric of negative sectional curvature. It follows that for n>1 the fundamental group of M-S satisfies Mostow-type Rigidity, has finite asymptotic dimension and rapid decay property, satisfies Borel and Baum-Connes conjectures, is co-Hopf and residually hyperbolic, has no nontrivial subgroups with property (T), and has finite outer automorphism group. Furthermore, if M is compact, then the fundamental group of M-S is biautomatic and satisfies Strong Tits Alternative.

研究动机与目标

• 理解一个完备有限体积复双曲 $n$-流形 $M$ 在移除一个紧致全测地复 $(n-1)$-子流形 $S$ 后的基本群。
• 在 $M \setminus S$ 上构造一个具有负截面曲率的完备有限体积黎曼度量。
• 建立 $M \setminus S$ 的基本群相对于边界分量基本群的相对双曲性。
• 推导出基本群的强代数与几何刚性性质，包括字问题与共轭问题的可解性，以及外自同构群的有限性。
• 证明基本群满足 Borel 与 Baum-Connes 猜想，并具有快速衰减性质。

提出的方法

• 通过在 $S$ 附近使用径向函数构造 $M \setminus S$ 上的度量积，利用截面曲率项的显式计算控制曲率。
• 应用 $C^2$-正则化程序以确保度量的 $A$-正则性，使用卷积与扰动技术以保持曲率界。
• 使用 [BW04] 中的度量积曲率公式并经 [Bel] 修正，特别关注涉及 $h_i(r) = \sqrt{g_r(X_i,X_i)}$ 的截面曲率项。
• 通过验证格罗莫夫定义，利用构造的度量与边界分量的结构，证明相对双曲性。
• 应用 [FJ98] 与 [Laf02] 的结果，推导出非正曲率的 $A$-正则度量蕴含 Borel 与 Baum-Connes 猜想。
• 利用 $A$-正则度量及其扰动的理论，确保度量在 $C^1$ 意义下接近原度量，并保持负曲率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限体积复双曲 $n$-流形中，全测地 $(n-1)$-子流形的补集 $M \setminus S$ 是否 admits 一个完备有限体积的负截面曲率度量？
• RQ2 在边界分量的基本群意义下，$M \setminus S$ 的基本群是否相对双曲？
• RQ3 对于 $n > 1$，$\pi_1(M \setminus S)$ 满足哪些代数与几何刚性性质？
• RQ4 $M \setminus S$ 是否 admits 一个完备的负曲率 $A$-正则度量？其对 $K$-理论与群性质有何影响？
• RQ5 莫斯特型刚性是否可推广至 $M \setminus S$ 的基本群？

主要发现

• 空间 $M \setminus S$ 具有一个完备有限体积度量，其截面曲率 $\leq -1$，通过控制曲率项的度量积构造而成。
• 基本群 $\pi_1(M \setminus S)$ 是非初等的，并且相对于边界分量基本群是强相对双曲的。
• 对于 $n > 1$，$\pi_1(M \setminus S)$ 满足莫斯特型刚性：任意两个此类补集之间的同伦等价唯一地提升为环境流形间的等距同构。
• $\pi_1(M \setminus S)$ 的外自同构群是有限的，且该群是共霍普夫群与剩余双曲群。
• 基本群满足 Borel 与 Baum-Connes 猜想，具有有限渐近维数，并具有快速衰减性质。
• 若 $M$ 是紧致的，则 $\pi_1(M \setminus S)$ 是双自动的，并满足强 Tits 交替律。