[论文解读] Complexity of the Guided Local Hamiltonian Problem: Improved Parameters and Extension to Excited States

Chris Cade, Marten Folkertsma+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文证明了在显著优化的参数条件下，引导局部哈密顿量低能量（GLHLE）问题仍是BQP-完全的：对于2-体哈密顿量，引导态与目标本征态的保真度可达1 − Ω(1/poly(n))，且可估计激发态能量（而不仅基态）。该结果扩展了先前工作，放宽了对局部性、保真度和目标态的约束，表明即使引导态与目标态几乎无法区分，量子优势依然存在。

ABSTRACT

Estimating the ground state energy of a local Hamiltonian is a central problem in quantum chemistry. In order to further investigate its complexity and the potential of quantum algorithms for quantum chemistry, Gharibian and Le Gall (STOC 2022) recently introduced the guided local Hamiltonian problem (GLH), which is a variant of the local Hamiltonian problem where an approximation of a ground state (which is called a guiding state) is given as an additional input. Gharibian and Le Gall showed quantum advantage (more precisely, BQP-completeness) for GLH with 6-local Hamiltonians when the guiding state has fidelity (inverse-polynomially) close to 1/2 with a ground state. In this paper, we optimally improve both the locality and the fidelity parameter: we show that the BQP-completeness persists even with 2-local Hamiltonians, and even when the guiding state has fidelity (inverse-polynomially) close to 1 with a ground state. Moreover, we show that the BQP-completeness also holds for 2-local physically motivated Hamiltonians on a 2D square lattice or a 2D triangular lattice. Beyond the hardness of estimating the ground state energy, we also show BQP-hardness persists when considering estimating energies of excited states of these Hamiltonians instead. Those make further steps towards establishing practical quantum advantage in quantum chemistry.

研究动机与目标

• 将引导局部哈密顿量问题推广至包括激发态而非仅基态。
• 改善问题保持BQP-完全性的参数范围，特别是降低哈密顿量所需的局部性。
• 表明高保真度引导态（高达1 − Ω(1/poly(n))）并不会使问题在经典上可解。
• 在相同优化条件下，确立激发态能量估计仍为BQP-完全。

提出的方法

• 作者将GLHLE问题定义为引导局部哈密顿量问题在任意本征态（而不仅基态）上的推广。
• 他们使用Feynman-Kitaev的电路到哈密顿量的构造方法，将量子计算编码进局部哈密顿量，从而获得硬度结果。
• 分析依赖于引导态与目标本征态之间的保真度界限，假设引导态为半经典态。
• BQP包含性的证明使用了幅值放大和量子能量估计算法，利用了引导态与目标态之间的重叠（保真度）。
• 应用了误差缩减技术以增强成功概率，激发态情况下使用Chernoff界进行多数投票。
• 硬度结果通过证明：若该问题在经典上可解，则BQP将坍缩至BPP，与标准复杂性假设矛盾而得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 当哈密顿量为2-体而非6-体时，引导局部哈密顿量问题是否仍为BQP-完全？
• RQ2 当引导态与目标本征态的保真度为1 − Ω(1/poly(n))（而非仅1/2 − Ω(1/poly(n))）时，问题是否仍为BQP-完全？
• RQ3 当估计激发态能量（c ≥ 1）而非仅基态（c = 0）时，问题是否仍为BQP-完全？
• RQ4 引导态与多个本征态的重叠在维持量子硬度方面起什么作用？

主要发现

• 当引导态与目标本征态的保真度ζ = 1 − Ω(1/poly(n))时，GLHLE问题对2-体哈密顿量为BQP-完全。
• 当引导态与目标本征态的保真度ζ = 1/2 + Ω(1/poly(n))时，该问题对激发态（c ≥ 1）仍为BQP-完全。
• 对于基态能量估计，当哈密顿量为O(log n)-局部且保真度ζ = Ω(1/poly(n))时，问题属于BQP。
• 对于激发态能量估计，当哈密顿量为O(log n)-局部、保真度ζ = 1/2 + Ω(1/poly(n))且精度δ = 1/O(poly(n))时，问题属于BQP。
• 即使引导态与目标态具有近乎完美的保真度，BQP-完全性依然成立，这意味着引导态也必须与Ω(poly(n))个其他本征态具有非可忽略的重叠。
• 该结果表明，该问题中的量子优势不仅源于反多项式精度，还源于引导态与多个本征态重叠的复杂结构。