[论文解读] Complexity of the Minimum Cost Homomorphism Problem for Semicomplete Digraphs with Possible Loops

E. J. Kim, Gregory Gutin|ArXiv.org|Aug 19, 2007

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文针对带有环的半完全有向图提出了最小代价同态问题（MinHOM）的完整二分法分类，解决了由先前关于无环半完全有向图的研究所提出的开放问题。作者证明，MinHOM(H) 在多项式时间内可解当且仅当有向图 H 满足特定结构条件——特别是不包含某些诱导子有向图，如 $\vec{C}^*_3$ 和 $R$——否则该问题为 NP-难，其证明基于结构图论和禁止子图的归约方法。

ABSTRACT

For digraphs $D$ and $H$, a mapping $f: V(D)\dom V(H)$ is a homomorphism of $D$ to $H$ if $uv\in A(D)$ implies $f(u)f(v)\in A(H).$ For a fixed digraph $H$, the homomorphism problem is to decide whether an input digraph $D$ admits a homomorphism to $H$ or not, and is denoted as HOM($H$). An optimization version of the homomorphism problem was motivated by a real-world problem in defence logistics and was introduced in \cite{gutinDAM154a}. If each vertex $u \in V(D)$ is associated with costs $c_i(u), i \in V(H)$, then the cost of the homomorphism $f$ is $\sum_{u\in V(D)}c_{f(u)}(u)$. For each fixed digraph $H$, we have the {\em minimum cost homomorphism problem for} $H$ and denote it as MinHOM($H$). The problem is to decide, for an input graph $D$ with costs $c_i(u),$ $u \in V(D), i\in V(H)$, whether there exists a homomorphism of $D$ to $H$ and, if one exists, to find one of minimum cost. Although a complete dichotomy classification of the complexity of MinHOM($H$) for a digraph $H$ remains an unsolved problem, complete dichotomy classifications for MinHOM($H$) were proved when $H$ is a semicomplete digraph \cite{gutinDAM154b}, and a semicomplete multipartite digraph \cite{gutinDAM}. In these studies, it is assumed that the digraph $H$ is loopless. In this paper, we present a full dichotomy classification for semicomplete digraphs with possible loops, which solves a problem in \cite{gutinRMS}.\footnote{This paper was submitted to SIAM J. Discrete Math. on October 27, 2006}

研究动机与目标

• 通过为可能含有环的半完全有向图上的最小代价同态问题（MinHOM）提供完整的二分法分类，解决计算复杂性领域的一个开放问题。
• 将先前针对无环半完全有向图的二分法结果扩展到允许环的更一般情形，这显著增加了结构复杂性。
• 通过禁止子有向图条件，对带有环的半完全有向图 H 的 MinHOM(H) 的多项式时间可解情形进行特征刻画。
• 为带权重同态问题中的优化建立理论基础，该问题在物流与调度等实际应用中具有重要意义。

提出的方法

• 作者利用结构图论分析决定带有环的半完全有向图 H 的 MinHOM(H) 可 tractability 的禁止诱导子有向图。
• 他们引入并分析关键有向图，如 $\vec{C}^*_3$（可能带有环的有向三元环）、$R$、$W$、$R'$ 和带环的 $\vec{C}_3$，以界定可解与 NP-难情形之间的边界。
• 核心技术在于证明：若半完全有向图 H 避免了某些子图（例如 $\vec{C}^*_3$ 和 $R$），且其对称部分为正规区间图，则 MinHOM(H) 在多项式时间内可解。
• 证明通过在 H 的对称部分中最短路径上使用归纳法和极小性论证，排除禁止配置的存在。
• 作者利用关于正规区间图的已知结果，特别是通过禁止子图（爪形图、网图、长度 ≥4 的环）进行特征刻画，以约束 H 的结构。
• 他们将问题简化为分析 H 的对称部分及其连通性和区间性质，将 MinHOM 复杂度与无向图性质联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些可能含有环的半完全有向图 H，最小代价同态问题（MinHOM(H)）是多项式时间可解的？
• RQ2 环的存在以及 H 的对称部分的结构如何影响 MinHOM(H) 的复杂度？
• RQ3 在带有环的半完全有向图中，哪些是最小禁止子有向图，可用来刻画 MinHOM(H) 的 NP-难性？
• RQ4 能否将无环半完全有向图的二分法结果扩展到允许环的情形？若能，会引出哪些新的结构约束？
• RQ5 是否存在一种结构特征刻画（如 Min-Max 顺序或禁止子图条件），等价于在反射性半完全有向图情形下 MinHOM(H) 的多项式可解性？

主要发现

• 当且仅当有向图 H 不包含 $\vec{C}^*_3$ 或 $R$ 作为诱导子有向图，且其对称部分 $U(H^{sym})$ 为正规区间图时，MinHOM(H) 在多项式时间内可解。
• 在带有环的半完全有向图情形下，$\vec{C}^*_3$（可能带有环的有向三元环）和 $R$（一个特定的三顶点有向图）的缺失，既是可解性的必要条件，也是充分条件。
• 若 H 为反射性半完全有向图且 $U(H^{sym})$ 为连通正规区间图，则 MinHOM(H) 在多项式时间内可解。
• 若 H 包含 $W$、$R'$ 或至少带一个环的 $\vec{C}_3$ 作为诱导子有向图，则问题变为 NP-难。
• 由于环与环状结构之间的相互作用，带有环的半完全有向图的复杂度分类比无环情形复杂得多。
• 结果确认了带有环的半完全有向图的 MinHOM(H) 问题已被完全分类，解决了文献 [8] 提出的开放问题。