[论文解读] Complexity of the Steiner Network Problem with Respect to the Number of Terminals

Eduard Eiben, Dušan Knop+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 16被引用 2

一句话总结

本文針對終極數 |T|，建立了有參數複雜度下達的緊緻界限，適用於有向 Steiner 網路（DSN）問題。針對可嵌入在 genus g 表面的圖形，本文提出一個運行時間為 f(R) · |V(G)|^{O(c_g · |T|)} 的演算法，並證明若指數時間假設（ETH）不成立，則一般圖形上不存在 f(R) · |V(G)|^{o(|T|^{2}/log|T|)} 的演算法，從而填補了 DSN 複雜度圖景中長期存在的缺口。

ABSTRACT

In the Directed Steiner Network problem we are given an arc-weighted digraph $G$, a set of terminals $T \subseteq V(G)$, and an (unweighted) directed request graph $R$ with $V(R)=T$. Our task is to output a subgraph $G' \subseteq G$ of the minimum cost such that there is a directed path from $s$ to $t$ in $G'$ for all $st \in A(R)$. It is known that the problem can be solved in time $|V(G)|^{O(|A(R)|)}$ [Feldman&Ruhl, SIAM J. Comput. 2006] and cannot be solved in time $|V(G)|^{o(|A(R)|)}$ even if $G$ is planar, unless Exponential-Time Hypothesis (ETH) fails [Chitnis et al., SODA 2014]. However, as this reduction (and other reductions showing hardness of the problem) only shows that the problem cannot be solved in time $|V(G)|^{o(|T|)}$ unless ETH fails, there is a significant gap in the complexity with respect to $|T|$ in the exponent. We show that Directed Steiner Network is solvable in time $f(R)\cdot |V(G)|^{O(c_g \cdot |T|)}$, where $c_g$ is a constant depending solely on the genus of $G$ and $f$ is a computable function. We complement this result by showing that there is no $f(R)\cdot |V(G)|^{o(|T|^2/ \log |T|)}$ algorithm for any function $f$ for the problem on general graphs, unless ETH fails.

研究动机与目标

• 填補目前對有向 Steiner 網路（DSN）問題在終極數 |T| 方面已知複雜度界限的缺口。
• 確定問題是否能比已知的 |V(G)|^{O(|A(R)|)} 上界，獲得更快速的演算法。
• 為一般圖形上的 DSN 演算法建立緊緻的下界。
• 探討圖形拓撲（特別是 genus）對 DSN 可解性之影響。

提出的方法

• 設計一種從參數化集合覆蓋問題（PSI）到 DSN 的新還原，同時保留解的結構與成本約束。
• 建構一個有向主圖 G′ 和一個需求圖 R，使得 DSN 的解對應於原始 PSI 實例的解。
• 在 DSN 建構中使用精確的預算機制，確保僅當 PSI 的解有效時，才會產生低成本的 DSN 解。
• 分析所建構 DSN 實例中路徑的結構，以強制執行從 H 到 G 的單射與邊保留映射。
• 應用指數時間假設（ETH）推導下界，證明若存在更快的 DSN 演算法，則也將存在更快的 PSI 演算法。
• 利用拓撲圖論，證明對於 genus g 有界的圖形，DSN 可在 f(R) · |V(G)|^{O(c_g · |T|)} 時間內解決。

实验结果

研究问题

• RQ1 DSN 問題的複雜度是否可針對終極數 |T| 進一步緊緻化？
• RQ2 在一般圖形上，是否存在根本性障礙，使得無法在 |V(G)|^{o(|T|²/log|T|)} 時間內解決 DSN？
• RQ3 主圖的 genus 是否影響 DSN 的可解性？若是，其影響為何？
• RQ4 對於結構化的需求圖，已知的 |V(G)|^{O(|A(R)|)} 上界是否可進一步改善？
• RQ5 目前針對有界 genus 圖形的 DSN 上界是否在漸近意義上為最佳？

主要发现

• 對於可嵌入在 genus g 表面的圖形，DSN 問題可在 f(R) · |V(G)|^{O(c_g · |T|)} 時間內解決，其中 c_g 為僅依賴於 g 的常數。
• 除非指數時間假設（ETH）失敗，否則一般圖形上不存在 f(R) · |V(G)|^{o(|T|²/log|T|)} 的 DSN 演算法。
• 下界建構是緊緻的，並顯示在 ETH 下，指數部分 |T|²/log|T| 為漸近最佳。
• 從 PSI 到 DSN 的還原保留了解的代價與結構，確保下界之正確性與緊緻性。
• 對於排除固定子式之圖類，存在 n^{O(|T|^{3/2})} 的演算法，但此類圖中是否存在 n^{O(|T|)} 演算法仍為開放問題。
• 本文透過建立上下界在對數因子內的匹配，填補了 DSN 複雜度中的一個重大缺口。