[论文解读] Composition Functionals in Fractional Calculus of Variations

Agnieszka B. Malinowska, Moulay Rchid Sidi Ammi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2010

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 35被引用 23

一句话总结

本文利用朱马里的修正黎曼-刘维尔分数阶导数，推导了涉及复合泛函的分数阶变分法问题的欧拉-拉格朗日方程与自然边界条件。研究建立了分数阶积分乘积与商泛函的最优性条件，将经典变分法推广至非局部、分数阶系统，适用于最优控制与物理学中的实际应用。

ABSTRACT

We prove Euler-Lagrange and natural boundary necessary optimality conditions for fractional problems of the calculus of variations which are given by a composition of functionals. Our approach uses the recent notions of Riemann-Liouville fractional derivatives and integrals in the sense of Jumarie. As an application, we get optimality conditions for the product and the quotient of fractional variational functionals.

研究动机与目标

• 将经典变分法推广至涉及泛函复合的非经典分数阶问题。
• 解决经典理论因非局部、分数阶依赖关系而无法处理的变分问题。
• 为这类复合泛函推导必要的最优性条件——欧拉-拉格朗日方程与自然边界条件。
• 将结果应用于具体情形：分数阶变分泛函的乘积与商。
• 为解决物理学与控制理论中的实际分数阶变分问题提供一个框架。

提出的方法

• 使用朱马里的修正黎曼-刘维尔分数阶导数与积分，其定义基于正则化积分形式。
• 应用分数阶分部积分公式：∫ₐᵇ u⁽ᵅ⁾(t)v(t)(dt)ᵅ = α![u(t)v(t)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u(t)v⁽ᵅ⁾(t)(dt)ᵅ。
• 推导由多个不同阶数 αᵢ 的分数阶积分组成的泛函 H 的一般欧拉-拉格朗日方程。
• 当端点值未固定时，通过泛函的变分推导自然边界条件。
• 将一般结果应用于乘积泛函（推论 3.4）与商泛函（推论 3.6），得出特定的分数阶微分方程。
• 求解一个具体例子，涉及两个阶数为 α = ½ 的分数阶积分的乘积，通过分数阶微分方程导出候选极小化元。

实验结果

研究问题

• RQ1 当泛函是多个分数阶积分的复合 H 时，分数阶变分法问题的必要最优性条件是什么？
• RQ2 在分数阶设定下，欧拉-拉格朗日方程与自然边界条件与经典情形有何不同？
• RQ3 两个分数阶变分泛函乘积的具体最优性条件是什么？
• RQ4 两个分数阶变分泛函商的具体最优性条件是什么？
• RQ5 一般框架如何应用于求解具有给定边界条件的具体分数阶变分问题？

主要发现

• 一般复合泛函的欧拉-拉格朗日方程被推导为一组涉及被积函数与泛函 H 的导数的分数阶微分方程。
• 对于乘积泛函，欧拉-拉格朗日方程为：α₁(b−t)ᵅ⁻¹(f_y − f_v⁽ᵅ⁾) + α₂(b−t)ᵅ⁻¹(f_y − f_v⁽ᵅ⁾) = 0，当端点自由时具有相应的自然边界条件。
• 对于商泛函，欧拉-拉格朗日方程为：α₁(b−t)ᵅ⁻¹(f_y − f_v⁽ᵅ⁾) − Qα₂(b−t)ᵅ⁻¹(f_y − f_v⁽ᵅ⁾) = 0，其中 Q = ℱ₁[𝑥̃]/ℱ₂[𝑥̃]，并具有相应的自然边界条件。
• 当 αᵢ → 1 时，结果恢复了文献 [2] 中关于商泛函的经典欧拉-拉格朗日方程与自然条件。
• 一个具体问题 ℒ[x] = (∫₀¹ (x⁽¹ᐟ²⁾(t))²(dt)¹ᐟ²)(∫₀¹ t¹ᐟ² x⁽¹ᐟ²⁾(t)(dt)¹ᐟ²) 的候选极小化元满足 (x⁽¹ᐟ²⁾(t))⁽¹ᐟ²⁾ = −Q₁√π/(4Q₂)，其中 Q₁ 与 Q₂ 由解计算得出。
• 通过求解方程组 (13) 确定 Q₁ 与 Q₂，得到候选极小化元 x̃(t) 的显式表达式，其形式为包含 (t−τ)⁻¹ᐟ² 核的积分。