[论文解读] Composition operators on reproducing kernel Hilbert spaces with analytic positive definite functions

Masahiro Ikeda, Isao Ishikawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2019

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 22被引用 6

一句话总结

本论文证明，在谱密度满足温和的衰减与正则性条件的前提下，仅仿射映射会诱导再生核希尔伯特空间（RKHS）上的有界复合算子，这些RKHS与解析正定函数相关联。关键洞见在于将有界性与加权$L^2$-空间中正交多项式零点的渐近行为联系起来，将先前仅限于有限阶整函数的结果推广至无限阶情形。

ABSTRACT

In this paper, we specify what functions induce the bounded composition operators on a reproducing kernel Hilbert space (RKHS) associated with an analytic positive definite function defined on $\mathbf{R}^d$. We prove that only affine transforms can do so in a pretty large class of RKHS. Our result covers not only the Paley-Wiener space on the real line, studied in previous works, but also much more general RKHSs corresponding to analytic positive definite functions where existing methods do not work. Our method only relies on an intrinsic properties of the RKHSs, and we establish a connection between the behavior of composition operators and the asymptotic properties of the greatest zeros of orthogonal polynomials on a weighted $L^2$-spaces on the real line. We also investigate the compactness of the composition operators and show that any bounded composition operators cannot be compact in our situation.

研究动机与目标

• 表征哪些映射会诱导由解析正定函数生成的RKHS上的有界复合算子。
• 将先前仅限于Paley-Wiener空间或有限阶整函数的情形扩展至更广泛的、包含无限阶生成函数的RKHS类。
• 建立复合算子有界性与加权$L^2$-空间中正交多项式最大零点渐近行为之间的联系。
• 研究此类复合算子的紧致性，并证明在所考虑的设定下，它们不可能是紧的。

提出的方法

• 分析依赖于RKHS的内在性质，特别是通过谱密度$w$的逆定义的范数结构。
• 引入量$\mathcal{E}_n^+(y;w)$和$\mathcal{E}_n^-(y;w)$，分别表示在$L^2(w)$中$n$次多项式上，点乘算子$e^{y^T\xi}$的算子范数的第$n$次根。
• 该方法利用群$\mathcal{G}(w)$（即保持权$w$至多相差一个正常数的线性映射群）来表征复合算子的有界性。
• 应用加权$L^2$-空间中正交多项式零点的渐近分析，并结合复分析与泛函分析的结果。
• 证明技术避免依赖有限阶整函数理论，转而利用$w$的衰减与正则性条件推导有界性条件。
• 建立$\mathcal{E}_n^\pm(y;w)$的增长性与核的谱行为之间的联系，从而得出结论：仅仿射映射可产生有界算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些映射$f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d$会诱导RKHS上具有解析正定核的有界复合算子？
• RQ2 经典结论——仅仿射映射会诱导有界复合算子——是否可超越Paley-Wiener空间与有限阶整函数的情形？
• RQ3 加权$L^2$-空间中正交多项式最大零点的渐近性质在决定复合算子有界性方面起什么作用？
• RQ4 是否存在由无限阶整函数生成的RKHS，使得仅仿射映射会诱导有界复合算子？
• RQ5 此类RKHS上的有界复合算子是否可能为紧算子？

主要发现

• 当$k = \widehat{w}$且$w$满足三个假设(A)、(B)与(C)时，仅当$f(x) = Ax + b$且$A \in \mathcal{G}(w)$时，映射才能在RKHS$H_k$上诱导有界复合算子。
• 复合算子的有界性由$\mathcal{E}_n^\pm(y;w)$在$n \to \infty$时的一致有界性表征，这将算子范数的增长与正交多项式零点的渐近行为联系起来。
• 本文证明，在此类RKHS上，任何有界复合算子都不可能是紧的，即使在无限维情形下亦然。
• 该结果适用于由无限阶整函数生成的RKHS，例如谱密度为$w(\xi) = \sum_{n=-\infty}^\infty \mathbf{1}_{[-1/2+n,1/2+n)}(\xi)/|n|!$的情形，此时$\widehat{w}$为无限阶。
• 提供了(B)与(C)的充分条件，包括$w(\xi) = \prod_{i=1}^d e^{-Q_i(|\xi_i|)}$的情形，其中$Q_i$满足温和的正则性与增长条件。
• 该框架通过去除对有限阶整函数的假设，将先前结果推广，转而使用RKHS与正交多项式分析的内在性质。