[论文解读] Compressed Sensing and Matrix Completion with Constant Proportion of Corruptions

Xiaodong Li|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2011

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 39被引用 14

一句话总结

该论文在测量值或矩阵元素中存在任意、对抗性污染且污染比例恒定的条件下，为压缩感知和矩阵补全问题建立了稳健的恢复保证。通过改进的高尔夫球法（golfing scheme）与凸优化方法，证明了当信号稀疏度或矩阵秩分别满足 O(m / log²n) 或 O(m / (n log²n)) 时，即使存在严重污染，也能实现精确恢复，且适用于高斯或次高斯测量矩阵与采样方案。

ABSTRACT

We improve existing results in the field of compressed sensing and matrix completion when sampled data may be grossly corrupted. We introduce three new theorems. 1) In compressed sensing, we show that if the m imes n sensing matrix has independent Gaussian entries, then one can recover a sparse signal x exactly by tractable \ell1 minimimization even if a positive fraction of the measurements are arbitrarily corrupted, provided the number of nonzero entries in x is O(m/(log(n/m) + 1)). 2) In the very general sensing model introduced in "A probabilistic and RIPless theory of compressed sensing" by Candes and Plan, and assuming a positive fraction of corrupted measurements, exact recovery still holds if the signal now has O(m/(log^2 n)) nonzero entries. 3) Finally, we prove that one can recover an n imes n low-rank matrix from m corrupted sampled entries by tractable optimization provided the rank is on the order of O(m/(n log^2 n)); again, this holds when there is a positive fraction of corrupted samples.

研究动机与目标

• 解决当测量值或矩阵元素中存在恒定比例的任意污染时，稀疏信号或低秩矩阵的恢复问题。
• 将现有的压缩感知与矩阵补全理论扩展至可处理未知位置、严重污染的情形，且无需事先知晓污染位置。
• 通过利用高尔夫球法与受限等距性质等先进工具，建立更紧密的恢复边界，适用于更真实的污染模型。
• 通过减少稀疏度与秩阈值中的对数因子，改进先前结果，实现近似最优的量级缩放。
• 在存在污染的情况下，为 ℓ₁-最小化与核范数最小化提供理论恢复保证。

提出的方法

• 提出一种基于非均匀尺寸高尔夫球法的改进对偶证书构造方法，以处理压缩感知与矩阵补全中的污染测量值。
• 采用凸优化方法：使用 ℓ₁-最小化实现稀疏信号恢复，使用核范数最小化实现低秩矩阵恢复。
• 提出一种对偶矩阵构造方法，使其满足与低秩或稀疏结构的切空间和法空间投影相关的四个关键不等式。
• 利用概率集中不等式，控制在随机采样与高斯矩阵下对偶证书分量的谱范数与无穷范数。
• 对高尔夫球法进行精细化分析，与先前工作相比，降低了恢复阈值中的对数因子。
• 通过控制对偶证书构造中的误差项，利用 Rademacher 序列与随机投影的尾部界，建立高概率恢复结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当恒定比例的测量值被任意污染时，是否能保证压缩感知中的精确恢复？
• RQ2 在该类污染模型下，仍可实现精确恢复的信号最大稀疏度为何？
• RQ3 能否使矩阵补全对恒定比例的污染条目具有鲁棒性，同时保持低秩恢复保证？
• RQ4 当存在污染时，所需样本数如何随矩阵秩与维度变化？
• RQ5 通过改进的高尔夫球法，能否减少现有恢复边界中的对数因子？

主要发现

• 对于具有高斯测量矩阵的压缩感知，当信号 x 的非零条目数为 O(m / (log(n/m) + 1)) 时，即使恒定比例的测量值被任意污染，仍可实现对 m 维稀疏信号 x 的精确恢复。
• 在具有 i.i.d. 次高斯条目的通用测量模型下，当非零条目数为 O(m / log²n) 时，即使存在恒定比例的污染，仍可实现精确恢复。
• 在矩阵补全中，当矩阵秩为 O(m / (n log²n)) 时，即使采样条目中存在恒定比例的污染，也可通过核范数最小化实现对 n×n 低秩矩阵的精确恢复。
• 所提出的采用非均匀采样尺寸的高尔夫球法，相比先前方法，降低了恢复阈值中的对数因子，实现了更紧的边界。
• 通过高尔夫球法构造的对偶证书，可确保凸优化问题的解以高概率精确恢复原始信号或矩阵。
• 分析表明，对偶证书分量的谱范数与无穷范数可被高概率控制，从而在给定的稀疏度与秩条件下实现精确恢复。