[论文解读] Compressed Sensing for Analog Signals

Bernard G. Bodmann, Axel Flinth+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2018

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 39被引用 16

一句话总结

本文提出了一种基于再生核希尔伯特空间的压缩感知框架，用于模拟信号，通过原子范数定义稀疏性，实现了对在不可数字典中稀疏的信号的稳定、鲁棒恢复。关键贡献是理论证明了即使在存在噪声和基失配的情况下，也能通过原子范数最小化实现模拟信号的精确恢复，适用于带限信号和短时傅里叶变换稀疏信号。

ABSTRACT

In this paper we develop a general theory of compressed sensing for analog signals, in close similarity to prior results for vectors in finite dimensional spaces that are sparse in a given orthonormal basis. The signals are modeled by functions in a reproducing kernel Hilbert space. Sparsity is defined as the minimal number of terms in expansions based on the kernel functions. Minimizing this number is under certain conditions equivalent to minimizing an atomic norm, the pre-dual of the supremum norm for functions in the Hilbert space. The norm minimizer is shown to exist based on a compactness argument. Recovery based on minimizing the atomic norm is robust and stable, so it provides controllable accuracy for recovery when the signal is only approximately sparse and the measurement is corrupted by noise. As applications of the theory, we include results on the recovery of sparse bandlimited functions and functions that have a sparse inverse short-time Fourier transform.

研究动机与目标

• 通过发展适用于连续模拟信号的理论，解决离散压缩感知的局限性。
• 通过在无限维再生核希尔伯特空间中建模信号，克服传统稀疏恢复中的基失配问题。
• 建立基于不可数无限字典的模拟信号稀疏表示框架，避免离散化。
• 为近似稀疏且受噪声污染的信号提供鲁棒且稳定的恢复保证。
• 将经典压缩感知推广至无限维设置，同时保持重建的可控精度。

提出的方法

• 将模拟信号建模为再生核希尔伯特空间（RKHS）中的函数，其中核函数构成表示系统。
• 将稀疏性定义为表示信号所需的最小核函数数量，等价于最小化原子范数。
• 将恢复问题表述为凸优化问题：在满足线性测量约束下最小化原子范数。
• 使用RKHS中上确界范数的预对偶作为原子范数，通过紧致性论证确保最小化器的存在性。
• 通过证明小噪声和近似稀疏性会导致小重建误差，建立恢复的稳定性和鲁棒性。
• 将该框架应用于具体情形：带限函数和短时傅里叶变换稀疏的信号，采用适当的核结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将压缩感知从离散的有限维向量推广到无限维空间中的连续模拟信号？
• RQ2 当表示字典为不可数无限时，模拟信号的稀疏性应如何正确定义？
• RQ3 对于近似稀疏且受噪声污染的模拟信号，能否实现稳定且鲁棒的恢复？
• RQ4 如何在再生核希尔伯特空间中定义并最小化原子范数，以实现精确恢复？
• RQ5 在连续字典中具有稀疏表示的模拟信号，其理论恢复保证是什么？

主要发现

• 原子范数最小化方法即使在信号近似稀疏且测量受噪声污染时，也能实现模拟信号的稳定和鲁棒恢复。
• 通过再生核希尔伯特空间中的紧致性论证，保证了原子范数最小化器的存在性。
• 在模拟设置中，稀疏性被定义为表示信号所需的最小核函数项数，这等价于最小化原子范数。
• 对于带限函数和短时傅里叶变换稀疏的信号，在适当的测量条件下，该理论可实现精确恢复。
• 该框架通过直接在连续统中操作，避免了离散化，从而保持了信号的模拟结构。
• 无限维问题的数值可解性未被讨论，但在特殊情形（如傅里叶或分段线性测量）下，可通过有限维降维实现精确恢复。