[论文解读] Compressive sensing Petrov-Galerkin approximation of high-dimensional parametric operator equations

Holger Rauhut, Christoph Schwab|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2014

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 51被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种压缩感知Galerkin（CSPG）方法，用于高效逼近高维参数型算子方程解的泛函，该方法利用张量化切比雪夫多项式上的稀疏多项式混沌展开。在对参数输入正则性施加弱假设的条件下，该方法以高概率实现了与最佳 $ s $-项逼近相当的 $ L_2 $ 和 $ L_∞ $ 收敛速率，仅相差对数因子。

ABSTRACT

We analyze the convergence of compressive sensing based sampling techniques for the efficient evaluation of functionals of solutions for a class of high-dimensional, affine-parametric, linear operator equations which depend on possibly infinitely many parameters. The proposed algorithms are based on so-called "non-intrusive" sampling of the high-dimensional parameter space, reminiscent of Monte-Carlo sampling. In contrast to Monte-Carlo, however, a functional of the parametric solution is then computed via compressive sensing methods from samples of functionals of the solution. A key ingredient in our analysis of independent interest consists in a generalization of recent results on the approximate sparsity of generalized polynomial chaos representations (gpc) of the parametric solution families, in terms of the gpc series with respect to tensorized Chebyshev polynomials. In particular, we establish sufficient conditions on the parametric inputs to the parametric operator equation such that the Chebyshev coefficients of the gpc expansion are contained in certain weighted $\ell_p$-spaces for $0

研究动机与目标

• 开发一种非侵入式、基于采样的方法，用于逼近高维参数型算子方程解的泛函。
• 通过利用广义多项式混沌（gpc）展开中的稀疏性，克服不确定性量化中的维数灾难。
• 为压缩感知应用于参数型PDE时提供严格的收敛性保证，采用Galerkin离散化方法。
• 建立切比雪夫系数属于加权 $ \ell_p $-空间（$ 0 < p \leq 1 $）的条件，从而实现稀疏恢复。

提出的方法

• 该方法利用压缩感知，从解泛函的少量样本中重构参数解，利用张量化切比雪夫多项式混沌展开中的稀疏性。
• 采用Galerkin离散化方法在选定的参数点上计算解样本，确保采样数据的稳定性和准确性。
• 该方法依赖于gpc系数序列在切比雪夫基下的近似稀疏性，该性质在参数输入正则性及系数衰减假设下得以证明。
• 该方法表明，所需样本数与稀疏度 $ s $ 的增长近乎最优，收敛速率与最佳 $ s $-项逼近相当。
• 该分析通过证明在参数依赖性满足一定条件下，切比雪夫系数在 $ \ell_p $-空间中可 summable（$ 0 < p \leq 1 $），推广了近期关于gpc稀疏性的结果。
• 该方法是非侵入式的且可并行化，支持在多个参数样本上同时评估，优于顺序贪婪或自适应方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否严格将压缩感知应用于从少量样本中恢复仿射参数型算子方程的高维参数解？
• RQ2 在何种参数输入条件下，解的广义多项式混沌展开在张量化切比雪夫多项式下近似稀疏？
• RQ3 压缩感知Galerkin方法在 $ L_2 $ 和 $ L_\infty $ 范数下的收敛速率与最佳 $ s $-项逼近相比如何？
• RQ4 所需样本数如何随稀疏度 $ s $ 变化？对数因子在收敛速率中的作用是什么？
• RQ5 该方法能否在无限多个参数的情况下实现与最佳 $ s $-项逼近相当的维数无关收敛速率？

主要发现

• 该方法实现了与最佳 $ s $-项逼近相当的 $ L_2 $ 和 $ L_\infty $ 收敛速率，仅相差对数因子。
• 对于满足特定正则性与衰减条件的参数输入，gpc展开的切比雪夫系数属于加权 $ \ell_p $-空间（$ 0 < p \leq 1 $），从而支持压缩感知恢复。
• 所需样本数受 $ C_{\alpha,c} s^{\gamma_{\alpha,c} \log s} $ 限制，其随 $ s $ 的增长为次指数级，表明采样复杂度近乎最优。
• 即使参数数量为无穷，只要参数依赖性满足可求和条件，收敛性仍以高概率保证。
• 该分析通过建立 $ \ell_p $-可求和性（$ p \leq 1 $）扩展了先前关于gpc稀疏性的结果，这是压缩感知成功的关键条件。
• 该方法在收敛速率上优于标准蒙特卡洛方法，仅需极少数解评估即可实现接近最优的 $ s $-项逼近性能。