[论文解读] Compressive Sensing Theory for Optical Systems Described by a Continuous Model

Albert Fannjiang|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 33被引用 5

一句话总结

本文针对基于连续模型的光学成像系统，发展了压缩感知理论，重点研究逆散射与干涉测量。建立了基于傅里叶成像的感知矩阵相干性界限，表明随机传感器阵列可实现低相干性（按 n⁻¹ 缩放），即使在多重散射存在的情况下，也能通过基追踪和贪婪算法稳定恢复稀疏目标。

ABSTRACT

A brief survey of the author and collaborators' work in compressive sensing applications to continuous imaging models.

研究动机与目标

• 将压缩感知理论扩展至由连续波动方程（特别是Helmholtz方程）建模的光学系统。
• 分析在衍射与散射几何中产生的感知矩阵的非相干性特性，这对于稳定稀疏恢复至关重要。
• 为使用随机传感器阵列的逆散射与光学干涉测量中的稀疏信号恢复提供理论保证。
• 通过将逆问题分解为两个阶段（掩模物体恢复与真实物体重建），解决多重散射的挑战。
• 推导干涉测量感知矩阵的相干性界限，表明随机基线配置可产生有利的非相干性特性。

提出的方法

• 使用Lippmann-Schwinger积分方程建模由Helmholtz方程控制的非均质介质中的散射场。
• 将压缩感知框架（基追踪与正交匹配追踪OMP）应用于傅里叶域测量中，以恢复掩模物体的稀疏表示。
• 引入约束联合稀疏性，以连接像素基与点源物体模型中的总变差与ℓ¹稀疏性先验。
• 通过分析使用随机传感器位置的测量系统的格拉姆矩阵，推导干涉测量感知矩阵的相干性界限。
• 在均匀随机基线配置下，以高概率建立相干性界限 μ(Φ) ≤ |2K² − 1| / (n − 1)。
• 利用概率集中不等式，界定感知矩阵列之间的最大内积，确保稳定恢复所需的非相干性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将压缩感知理论适配于由连续模型（如Helmholtz方程）描述的光学系统？
• RQ2 在传感器随机分布的光学干涉测量中，基于傅里叶的感知矩阵会呈现出何种相干性特性？
• RQ3 在Born近似下，能否为逆散射问题建立基于压缩感知的理论恢复保证？
• RQ4 基底选择（像素、点源、Zernike、Littlewood-Paley）如何影响光学成像中压缩感知的非相干性与性能？
• RQ5 多重散射对压缩感知恢复有何影响？能否通过两阶段重建方法有效缓解？

主要发现

• 当传感器位置为均匀随机分布时，干涉测量感知矩阵的相干性参数 μ(Φ) 以高概率按 n⁻¹ 衰减，确保稀疏恢复的有利非相干性。
• 利用测度集中理论推导出相干性界限，表明在网格点数 N 满足一定条件时，μ(Φ) ≤ |2K² − 1| / (n − 1) 的概率超过 1 − 2ε。
• 光学干涉测量中随机基线配置可产生非相干感知矩阵，从而通过基追踪与OMP稳定恢复稀疏强度分布。
• 两阶段方法（先恢复掩模物体，再提取真实物体）能有效处理逆散射问题中的多重散射。
• 结合联合稀疏性模型的基追踪与OMP在像素基与点源物体模型中均实现稳定恢复，性能由非相干性决定，而非受限等距性质。
• 使用连续模型可更准确地描述光学波传播，从而获得比离散近似更紧致的理论界限。