[论文解读] Computation of bound states of semi-infinite matrix Hamiltonians with applications to edge states of two-dimensional materials

Kyle Thicke, Alexander B. Watson+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2018

Quantum and electron transport phenomena被引用 2

一句话总结

本文提出一种数值方法，可精确计算用于模拟二维材料中边缘态的半无限矩阵哈密顿量中的束缚态，通过使用格林函数结合体边界条件与瑞斯投影，避免了有限截断带来的虚假态。该方法成功捕捉了含缺陷的石墨烯锯齿形边缘的真实边缘态，涵盖紧束缚模型与连续PDE模型。

ABSTRACT

We present a numerical method which accurately computes the discrete spectrum and associated bound states of Hamiltonians which model electronic states localized at boundaries of one and two-dimensional crystalline materials. The problem is non-trivial since arbitrarily large finite hard truncations of the Hamiltonian in the infinite bulk direction tend to produce spurious bound states partially supported at the truncation. Our method, which overcomes this difficulty, is to compute the Green's function of the Hamiltonian by imposing an appropriate boundary condition in the bulk direction; then, the spectral data is recovered via Riesz projection. We demonstrate our method's effectiveness by studies of edge states at a graphene zig-zag edge in the presence of defects modeled both by a discrete tight-binding model and a continuum PDE model under finite difference discretization. Our method may also be used to study states localized at domain wall-type edges in one and two-dimensional materials where the edge Hamiltonian is infinite in both directions; we demonstrate this for the case of a tight-binding model of distinct honeycomb structures joined along a zig-zag edge.

研究动机与目标

• 解决在模拟材料边界电子态的半无限哈密顿量中，因有限截断而产生的虚假束缚态问题。
• 开发一种鲁棒的数值方法，用于计算一维和二维晶态材料中边缘的离散谱与局域束缚态。
• 实现对含缺陷的石墨烯锯齿形边缘的边缘态的精确模拟，涵盖离散紧束缚模型与连续PDE模型。
• 将该方法扩展至边缘哈密顿量在两个方向均无限的畴壁型边缘，如不同蜂窝结构的结点处。

提出的方法

• 通过在体方向施加物理解释恰当的边界条件，计算哈密顿量的格林函数。
• 利用格林函数通过瑞斯投影恢复谱数据，从而分离出离散谱。
• 将该方法应用于离散紧束缚模型与连续PDE的有限差分离散化。
• 通过避免对无限体方向进行硬性截断，确保数值稳定性和准确性。
• 将该方法适配以处理在两个方向均无限的边缘哈密顿量，如不同材料间形成的畴壁结点。
• 在具有已知边缘态行为的系统上验证该方法，包括含缺陷的石墨烯锯齿形边缘。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不引入有限截断带来的虚假态的前提下，精确计算半无限矩阵哈密顿量中的束缚态？
• RQ2 缺陷对石墨烯锯齿形边缘中边缘态的形成与局域化有何影响？
• RQ3 同一套数值框架是否可同时适用于离散紧束缚模型与采用有限差分离散化的连续PDE模型？
• RQ4 在边缘哈密顿量无限延伸的系统中，如不同二维材料之间的畴壁结点，该方法表现如何？
• RQ5 该方法能否可靠地捕捉涉及不同蜂窝晶格在锯齿形界面处连接的复杂异质结构中的边缘态？

主要发现

• 该方法即使在大规模系统中，也能精确计算真实束缚态，且无截断带来的虚假贡献。
• 在紧束缚模型与连续PDE模型中，均能准确捕捉含缺陷的石墨烯锯齿形边缘的边缘态。
• 该方法在边缘哈密顿量在两个方向均无限的畴壁型边缘中同样有效。
• 瑞斯投影技术可从格林函数中精确提取离散谱。
• 该方法在不同模型类型中表现出鲁棒性与高精度，包括有限差分离散化。
• 该框架可实现对复杂二维材料异质结构中边缘态的可靠研究，且数值伪影极少。