[论文解读] Computation of Weyl groups of G-varieties

Ivan Losev|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用 8

一句话总结

本文提出了计算G-概形的Weyl群的显式算法，特别针对齐次空间和仿射齐次向量丛，利用Cartan空间与中心赋值锥。研究证明Weyl群即为中心赋值锥的面所生成的反射群，并对型A、D、E、B、C及F4的半单群给出了显式计算。

ABSTRACT

Let G be a connected reductive group. To any irreducible G-variety one associates a certain linear group generated by reflections called the Weyl group. Weyl groups play an important role in the study of embeddings of homogeneous spaces. We establish algorithms for computing Weyl groups for homogeneous spaces and affine homogeneous vector bundles. For some special classes of G-varieties (affine homogeneous vector bundles of maximal rank, affine homogeneous spaces, homogeneous spaces of maximal rank with discrete group of central automorphisms) we compute Weyl groups more or less explicitly.

研究动机与目标

• 开发计算不可约G-概形Weyl群的一般算法，尤其针对齐次空间和仿射齐次向量丛。
• 显式确定特殊类G-概形（包括最大秩的仿射齐次向量丛及中心自同构群离散的齐次空间）的Weyl群。
• 建立基于Cartan空间与中心赋值锥的计算框架，该框架推广了经典的Weyl群构造。
• 提供一种系统方法，将Weyl群的计算归约为更简单的子代数与Levi分解。
• 在Knop框架下统一并扩展关于球对称概形与对称空间中Weyl群的先前结果。

提出的方法

• 定义Cartan空间 $\mathfrak{a}_{G,X} = \mathfrak{X}_{G,X} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{C}$，其中 $\mathfrak{X}_{G,X}$ 是 $X$ 上 $B$-半不变有理函数的权格。
• 利用中心赋值锥 $\mathcal{V}_{G,X} \subset \mathfrak{a}_{G,X}(\mathbb{R})^*$，其为有限生成的有理凸锥，将Weyl群定义为由其面生成的反射群。
• 应用Knop关于Weyl群三种定义等价性的结果，重点聚焦于通过中心$G$-赋值的赋值理论构造。
• 通过共轭到反标准抛物子代数并利用良态条件，将计算归约为 $\mathfrak{t}^{W({\mathfrak{g}},{\mathfrak{h}})} = \{0\}$ 的情形。
• 利用特殊分量 $\underline{X} \subset X^{L_0}$ 与商 $\underline{G}/\underline{H}$ 将问题约化为更小的群，其中 $W({\mathfrak{g}},{\mathfrak{h}}) = W(\underline{{\mathfrak{g}}},\underline{{\mathfrak{h}}}) \leftthreetimes \Gamma$。
• 利用A、D、E、B、C、F4型的分类结果，通过结构约化与子代数和理想的相关已知引理，计算 $W({\mathfrak{g}},{\mathfrak{h}})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用赋值理论与格理论数据，算法化地计算一般G-概形的Weyl群？
• RQ2 在半单群上，最大秩的仿射齐次向量丛的Weyl群结构为何？
• RQ3 在何种条件下，齐次空间 $G/H$ 的Weyl群可分解为更小Weyl群与有限群 $\Gamma$ 的半直积？
• RQ4 如何将 $W({\mathfrak{g}},{\mathfrak{h}})$ 的计算归约为更简单的子代数，特别是在类型 $B_l, C_l, F_4$ 中？
• RQ5 中心赋值锥在确定Weyl群中起何作用？其单形结构如何确保群为有限且由反射生成？

主要发现

• G-概形 $X$ 的Weyl群 $W_{G,X}$ 是由中心赋值锥 $\mathcal{V}_{G,X}$ 的面所生成的有限反射群，且该锥为单形。
• 对于最大秩的仿射齐次向量丛，Weyl群通过权格与Cartan空间的结构显式计算得出，其中 $\mathfrak{a}_{G,X}$ 为Weyl群作用下的固定点空间。
• 在中心自同构群离散的齐次空间 $G/H$ 情形下，Weyl群同构于 $W(\underline{{\mathfrak{g}}},\underline{{\mathfrak{h}}}) \leftthreetimes \Gamma$，其中 $\Gamma$ 为由正规化子结构导出的有限群。
• 对于型 $A, D, E$ 的半单群，通过分类 $W$-准本质三元组，从 $\mathfrak{t}^{W({\mathfrak{g}},{\mathfrak{h}})}$ 恢复 $W({\mathfrak{g}},{\mathfrak{h}})$。
• 在型 $C_l$ ($l > 2$) 情形下，通过命题6.4.3计算Weyl群，该命题将抛物子代数的结构与Weyl群作用联系起来。
• 对于 $\mathfrak{g} = \mathfrak{so}_{2l+1}$ 与 $F_4$，利用引理6.5.3与6.6.1计算Weyl群，这些引理表明对适当的子代数 $\underline{{\mathfrak{h}}}$ 有 $W({\mathfrak{g}},\underline{{\mathfrak{h}}}) = W({\mathfrak{g}},{\mathfrak{h}})$，从而可约化至已知情形。