[论文解读] Computation of whiskered invariant tori and their associated manifolds: new fast algorithms

Yannick Sire, Rafael de la Llave+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2010

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 42被引用 45

一句话总结

本文提出了一种快速、高效的算法，用于在哈密顿系统中使用谱空间离散化的牛顿型方法计算带 whisker 的 KAM 环面及其关联的不变流形。该方法在 $N$ 个傅里叶模态下实现 $O(N\ln N)$ 次运算和 $O(N)$ 存储，无需使用作用-角度变量或小扰动，即可在离散和连续时间系统中实现高精度的环面与 whisker 计算。

ABSTRACT

In this paper we present efficient algorithms for the computation of several invariant objects for Hamiltonian dynamics. More precisely, we consider KAM tori (i.e diffeomorphic copies of the torus such that the motion on them is conjugated to a rigid rotation) both Lagrangian tori (of maximal dimension) and whiskered tori (i.e. tori with hyperbolic directions which, together with the tangents to the torus and the symplectic conjugates span the whole tangent space). In the case of whiskered tori, we also present algorithms to compute the invariant splitting and the invariant manifolds associated to the splitting. We present them both for the case of discrete time and for differential equations. The algorithms are based on a Newton method to solve an appropriately chosen functional equation that expresses invariance. The algorithms are efficient: if we discretize the objects by $N$ elements, one step of the Newton method requires only O(N) storage and $O(N \\ln(N))$ operations. Furthermore, if the object we consider is of dimension $\\ell$, we only need to compute functions of $\\ell$ variables, independently of what is the dimension of the phase space. The algorithms do not require that the system is presented in action-angle variables nor that it is close to integrable. The algorithms are backed up by rigorous \\emph{a-posteriori} bounds which state that if the equations are solved with a small residual and some explicitly computable condition numbers are not too big, then, there is a true solution which is close to the computed one. The algorithms apply both to primary (i.e non-contractible) and secondary tori (i.e. contractible to a torus of lower dimension, such as islands). They have already been implemented. We will report on the technicalities of the implementation and the results of running them elsewhere.

研究动机与目标

• 开发用于计算哈密顿系统中拉格朗日环面与带 whisker 的 KAM 环面的计算高效算法。
• 计算与带 whisker 环面相关的不变分裂及稳定/不稳定流形，适用于离散与连续时间系统。
• 通过残差和条件数的显式界，对计算解进行严格的后验验证。
• 实现对主环面与次级（可缩放）环面的计算，包括具有双曲方向的环面。
• 设计在维度上具有高效扩展性的算法，每步牛顿迭代仅需 $O(N)$ 存储和 $O(N\ln N)$ 次运算，且与相空间维度无关。

提出的方法

• 使用牛顿法求解表达环面动力不变性的泛函方程，该方程以系统的向量场或映射形式表示。
• 使用 $N$ 个系数的傅里叶级数对环面及其相关函数进行离散化，实现谱精度与快速变换。
• 利用快速傅里叶变换（FFTs）实现每步牛顿迭代 $O(N\ln N)$ 次运算，避免标准线性代数方法的 $O(N^3)$ 成本。
• 对于不变分裂，直接使用正交投影算子计算投影，而非图变换，从而提高数值稳定性。
• 对于不变流形，通过在傅里叶空间中递归求解线性系统，迭代求解修改后的不变性方程，每步迭代使精度阶数加倍。
• 应用后验验证：若残差较小且条件数有界，则在计算解附近存在真实解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在哈密顿系统中以高精度与高效率计算带 whisker 的 KAM 环面及其关联的不变流形？
• RQ2 哪些算法技术可使求解高维环面不变性方程时实现 $O(N\ln N)$ 运算次数与 $O(N)$ 存储？
• RQ3 该算法能否处理非可积系统以及非作用-角度变量表示的环面？
• RQ4 如何通过残差和条件数的后验界严格验证计算解？
• RQ5 该方法在傅里叶模态数量较大的系统中的计算扩展性如何？与标准牛顿方法相比有何差异？

主要发现

• 该算法在每步牛顿迭代中实现 $O(N\ln N)$ 次运算与 $O(N)$ 存储，使得在标准台式计算机上处理数百万个傅里叶系数的计算成为可能。
• 该方法与相空间维度无关：仅环面维度 $\ell$ 影响计算成本，而非环境空间维度。
• 该算法可计算主环面与次级（可缩放）KAM 环面，包括具有双曲方向的环面。
• 通过基于投影的方法而非图变换，高效计算不变分裂及稳定/不稳定流形。
• 后验验证框架保证：若残差较小且条件数有界，则在计算解附近存在真实解。
• 该方法已实现并经过测试，详细结果与技术实现细节在附带论文 [HdlLS09] 中报告。