[论文解读] Computational Complexity Analysis of Interval Methods in Solving Uncertain Nonlinear Systems

Rudra Prakash, S. Janardhanan+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2026

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一句话总结

该论文为经验证的区间方法求解不确定非线性系统，提出了一个算法级的最坏情形复杂度框架，比较基于划分与基于导数的方法，并识别出主导成本因素。

ABSTRACT

This paper analyses the computational complexity of validated interval methods for uncertain nonlinear systems. Interval analysis produces guaranteed enclosures that account for uncertainty and round-off, but its adoption is often limited by computational cost in high dimensions. We develop an algorithm-level worst-case framework that makes the dependence on the initial search volume $\mathrm{Vol}(X_0)$, the target tolerance $\varepsilon$, and the costs of validated primitives explicit (inclusion-function evaluation, Jacobian evaluation, and interval linear algebra). Within this framework, we derive worst-case time and space bounds for interval bisection, subdivision$+$filter, interval constraint propagation, interval Newton, and interval Krawczyk. The bounds quantify the scaling with $\mathrm{Vol}(X_0)$ and $\varepsilon$ for validated steady-state enclosure and highlight dominant cost drivers. We also show that determinant and inverse computation for interval matrices via naive Laplace expansion is factorial in the matrix dimension, motivating specialised interval linear algebra. Finally, interval Newton and interval Krawczyk have comparable leading-order costs; Krawczyk is typically cheaper in practice because it inverts a real midpoint matrix rather than an interval matrix. These results support the practical design of solvers for validated steady-state analysis in applications such as biochemical reaction network modelling, robust parameter estimation, and other uncertainty-aware computations in systems and synthetic biology.

研究动机与目标

• 量化初始搜索体积、目标公差和基本成本如何影响已验证区间方法的复杂度。
• 给出在不确定性下用于圈定稳态围栏的代表性区间方法的最坏情形时间与空间界。
• 识别高维不确定非线性系统中的主要计算瓶颈与成本驱动因素。
• 为实际求解器设计在生化网络和鲁棒参数估计等应用中提供指导。

提出的方法

• 为区间运算和已验证原语（包含函数、雅可比、区间线代）定义成本模型。
• 推导区间二分、子区间化+滤波、区间约束传播、区间牛顿、和区间克劳斯的最坏情形时间/空间界。
• 用Vol(X0)、epsilon，以及C_F、C_J、C_J^{-1}、N_it 描述复杂度。
• 评估区间线性代数对总成本的影响，包括行列式与逆的计算。
• 比较区间牛顿与区间克劳斯在领先阶成本上的差异。
• 通过数值研究对比观测到的盒子数量与运行时间，提供实际见解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不确定性下计算已验证稳态围栏的常见区间方法的最坏情形时间和空间复杂度是多少？
• RQ2 Vol(X0)、公差epsilon 以及已验证原语的成本如何在不同区间方法中驱动计算瓶颈？
• RQ3 在大尺度下区间牛顿与区间克劳斯在领先阶计算成本上有何比较？
• RQ4 区间线性代数成本（如行列式与求逆）对区间求解器的实用性有何影响？

主要发现

• 区间二分的最坏情形时间复杂度为 O((C_F + n) Vol(X0)/epsilon^n)，空间复杂度为 O(n Vol(X0)/epsilon^n)。
• 子区间化+滤波的时间复杂度为 O(m^n C_F)，空间复杂度为 O(m^n)，其中每个维度有 m 次划分。
• 区间约束传播在假设 C_con = O(C_F) 的条件下，时间为 O(m^n N_it (C_con + n))，空间为 O(m^n)。
• 通过区间矩阵的拉普拉斯展开计算行列式/逆在 n 维上呈阶乘/指数增长，促使采用其他区间线性代数方法。
• 区间牛顿在多重根情形下的最坏情形时间为 O(N_it n^3 Vol(X0)/epsilon^n)，凸显每个子盒子收敛的好处。
• 区间克劳斯在领先阶成本上被认为与区间牛顿相当，具体优势取决于矩阵求逆的成本。