[论文解读] Computational complexity of PEPS zero testing

Giuseppe Scarpa, András Molnár+5 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本文证明了判断一个投影纠缠对态（PEPS）是否恒为零是NP难的，即使对于具有边界且体部均匀的PEPS也是如此。此外，本文还表明，该问题的一个变体是不可判定的，这暗示了在基于PEPS的哈密顿量中验证对称性和能隙存在性的根本限制。

ABSTRACT

Projected entangled pair states aim at describing lattice systems in two spatial dimensions that obey an area law. They are specified by associating a tensor with each site, and they are generated by patching these tensors. We consider the problem of determining whether the state resulting from this patching is null, and prove it to be NP-hard; the PEPS used to prove this claim have a boundary and are homogeneous in their bulk. A variation of this problem is next shown to be undecidable. These results have various implications: they question the possibility of a 'fundamental theorem' for PEPS; there are PEPS for which the presence of a symmetry is undecidable; there exist parent hamiltonians of PEPS for which the existence of a gap above the ground state is undecidable. En passant, we identify a family of classical Hamiltonians, with nearest neighbour interactions, and translationally invariant in their bulk, for which the commuting 2-local Hamiltonian problem is NP-complete.

研究动机与目标

• 研究判断一个PEPS态是否恒为零的计算复杂性。
• 评估建立类似于矩阵乘积态中基本定理的PEPS‘基本定理’的可行性。
• 探索在PEPS框架内物理性质（如对称性存在性与能隙）的可判定性。
• 识别一类具有最近邻相互作用的经典哈密顿量家族，其中2-局部阿贝尔哈密顿量问题为NP完全。

提出的方法

• 通过已知的NP完全问题的约化，证明PEPS零值检测的NP难性。
• 构建具有边界且体部均匀的PEPS以保持复杂性。
• 使用张量网络补丁规则定义态并分析其零化性。
• 改编量子计算中的不可判定性技术，证明在修改后的PEPS零值检测问题中存在不可判定性。
• 识别出一类平移不变、最近邻相互作用的经典哈密顿量家族，其2-局部阿贝尔哈密顿量问题为NP完全。
• 以张量收缩和张量赋值逻辑一致性的方式形式化该问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 判断一个PEPS态是否为零的问题在计算上是否可行，还是NP难的？
• RQ2 能否建立一个类似于矩阵乘积态中的基本定理的PEPS基本定理？
• RQ3 PEPS态中对称性的存在性是否可判定？
• RQ4 PEPS的母哈密顿量的基态上方是否存在能隙的问题是否可判定？
• RQ5 在一类平移不变、最近邻相互作用的经典哈密顿量家族中，2-局部阿贝尔哈密顿量问题的计算复杂性如何？

主要发现

• 即使对于具有边界且体部均匀的PEPS，PEPS零值检测也是NP难的。
• PEPS零值检测问题的一个变体是不可判定的，暗示了在验证某些物理性质方面存在固有局限。
• 由于核心验证任务的不可判定性，PEPS的‘基本定理’存在的可能性极低。
• 存在某些PEPS，其对称性存在性是不可判定的。
• 存在某些PEPS的母哈密顿量，其能隙存在性是不可判定的。
• 存在一类平移不变、最近邻相互作用的经典哈密顿量家族，其2-局部阿贝尔哈密顿量问题为NP完全。